Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k. Determine
o rotacional (nabla times F);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa determinar o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = x^2 z i + y^2 z j + (x^2 - y^2) k. Para isso, vamos usar o conceito de rotacional (ou curl) que faz parte do estudo de campos vetoriais. Vamos precisar lembrar como calcular o rotacional usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rotacional. Se tivermos um campo vetorial F = P i + Q j + R k, o rotacional nabla times F é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar as componentes P, Q e R do nosso campo F:
  • P = x^2 z
  • Q = y^2 z
  • R = x^2 - y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Para a componente i:
    partial Rpartial y = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y
    partial Qpartial z = partialpartial z(y^2 z) = y^2
    Então,
    partial Rpartial y - partial Qpartial z = -2y - y^2
  2. Para a componente j:
    partial Ppartial z = partialpartial z(x^2 z) = x^2
    partial Rpartial x = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x
    Então,
    partial Ppartial z - partial Rpartial x = x^2 - 2x
  3. Para a componente k:
    partial Qpartial x = partialpartial x(y^2 z) = 0
    partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 z) = 0
    Então,
    partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos montar o vetor rotacional:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j + 0 k

Resposta

O rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = (-2y - y^2) i + (x^2 - 2x) j

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