Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k. Determine
o divergente (nabla cdot F).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo vetorial! O enunciado nos dá um campo vetorial F(x, y, z) = x^2 z i + y^2 z j + (x^2 - y^2) k. A pergunta é para determinar o divergente desse campo, que é representado por (nabla cdot F). Para isso, vamos usar o conceito de divergente da matéria de cálculo vetorial, que basicamente nos ajuda a entender como um campo vetorial “espalha” ou “converge” em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o divergente de um campo vetorial. Se tivermos um campo F = Fx i + Fy j + Fz k, o divergente é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Ou seja, a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.

Passo 3

Agora, vamos identificar cada componente do nosso campo F:
  • Fx = x^2 z
  • Fy = y^2 z
  • Fz = x^2 - y^2
Precisamos calcular as derivadas parciais de cada uma dessas componentes.

Passo 4

Vamos começar com partial Fxpartial x:
partial Fxpartial x = partialpartial x (x^2 z) = 2x z
Aqui, tratamos z como uma constante em relação a x.

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Fypartial y:
partial Fypartial y = partialpartial y (y^2 z) = 2y z
Novamente, z é tratado como constante em relação a y.

Passo 6

Por fim, calculamos partial Fzpartial z:
partial Fzpartial z = partialpartial z (x^2 - y^2) = 0
Porque x^2 - y^2 não depende de z, a derivada em relação a z é zero.

Resposta

Somando todas as derivadas parciais:
nabla cdot F = 2x z + 2y z + 0 = 2z(x + y)
Portanto, o divergente do campo vetorial F é 2z(x + y).

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