Calcule o fluxo de F através de sigma em que F(x, y, z)=(z arctg(y^2), z^3 ln (x^2+1), z) e sigma é a parte do parabolóide x^2+y^2+z=2 que está acima do plano z=1 com orientação positiva.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=(zarctan(y^2),;z^3ln(x^2+1),;z) e a superfície sigma dada pelo parabolóide x^2+y^2+z=2 acima de z=1. O que queremos é o fluxo
integral duplasigmaFcdot n,dS
para orientação positiva (normal voltado para cima). Vamos usar a fórmula de fluxo via parametrização
integral duplaDF(r(u,v))cdot(rutimes rv),du,dv

Passo 2

Como a parte de z=2-x^2-y^2 acima de z=1 corresponde ao disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=1,
parametrizamos
r(x,y)=(x,y,2-x^2-y^2), (x,y)in D

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
$$r_x=(1,0,-2x),\quad r_y=(0,1,-2y)
rx=(1,0,-2x), ry=(0,1,-2y) r_x\times r_y=(2x,;2y,;1),$$
que tem componente rxtimes ry=(2x,;2y,;1), e, portanto, dá a orientação positiva (para cima).

Passo 4

Substituímos z=2-x^2-y^2 em F e fazemos o produto escalar com o vetor normal:
Fl(x,y,2-x^2-y^2r)=l(zarctan(y^2),;z^3ln(x^2+1),;zr),
com z=2-x^2-y^2. Logo
$$
F\cdot(r_x\times r_y)
=2x,z\arctan(y2)+2y,z3\ln(x^2+1)+z.
$$

Passo 5

O domínio D é simétrico em relação aos eixos, e os dois primeiros termos são funções ímpares (em x ou y), portanto sua contribuição é zero. Resta computar
integral duplaD(2-x^2-y^2),dA

Passo 6

Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, temos
integral duplaD(2-r^2),dA =integral0^2piintegral0^1(2-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(2r-r^3),dr =2pil[r^2-tfracr^44r]0^1 =2pil(1-tfrac14r) =tfrac3pi2

Resposta

tfrac3pi2

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