Calcule o fluxo de
através de
em que
e
é a parte do parabolóide
que está acima do plano
com orientação positiva.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e a superfície
dada pelo parabolóide
acima de
. O que queremos é o fluxo
para orientação positiva (normal voltado para cima). Vamos usar a fórmula de fluxo via parametrização
Passo 2
Como a parte de
acima de
corresponde ao disco
parametrizamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
$$r_x=(1,0,-2x),\quad r_y=(0,1,-2y)
que tem componente
e, portanto, dá a orientação positiva (para cima).
Passo 4
Substituímos
em
e fazemos o produto escalar com o vetor normal:
com
$$
F\cdot(r_x\times r_y)
=2x,z\arctan(y2)+2y,z3\ln(x^2+1)+z.
=2x,z\arctan(y2)+2y,z3\ln(x^2+1)+z.
$$
Passo 5
O domínio
é simétrico em relação aos eixos, e os dois primeiros termos são funções ímpares (em
ou
), portanto sua contribuição é zero. Resta computar
Passo 6
Em coordenadas polares
com
,
, temos