Determine o volume da região delimitada pelo plano x y, pelo cilindro (x-1)^2+y^2=1 e pelo parabolóide z=x^2+y^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos encontrar o volume da região que está limitada pelo plano xy, pelo cilindro (x-1)^2 + y^2 = 1 e pelo paraboloide z = x^2 + y^2. Para resolver isso, vamos utilizar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, para calcular o volume dessa região tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos analisando. O cilindro (x-1)^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular com raio 1, deslocado 1 unidade no eixo x. O paraboloide z = x^2 + y^2 é uma superfície que se abre para cima. O plano xy corresponde a z = 0. Nosso objetivo é encontrar o volume entre o paraboloide, o cilindro e o plano xy.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla sobre a região D projetada no plano xy. A fórmula geral para o volume V é:
V = integral duplaD (zsuperior - zinferior) , dA
Aqui, zsuperior é a função do paraboloide, ou seja, z = x^2 + y^2, e zinferior é o plano xy, que é z = 0. Então, a integral fica:
V = integral duplaD (x^2 + y^2) , dA

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração sobre a região D. A equação do cilindro é (x-1)^2 + y^2 = 1. Vamos simplificar essa equação:
(x-1)^2 + y^2 = 1
Expandindo:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1 x^2 - 2x + y^2 = 0
Podemos completar o quadrado para facilitar a mudança para coordenadas polares:
(x - 1)^2 + y^2 = 1
Isso representa um círculo de raio 1 com centro no ponto (1, 0).

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos utilizar coordenadas polares deslocadas, onde x = rcostheta + 1 e y = rsintheta. No entanto, para simplificar ainda mais, vamos centralizar o cilindro no ponto (1, 0).
Nesse sistema, os limites para r vão de 0 a 1, já que o raio do cilindro é 1, e theta vai de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 6

Expressando x e y em coordenadas polares:
x = rcostheta + 1 y = rsintheta
A expressão para z no paraboloide fica:
z = x^2 + y^2 = (rcostheta + 1)^2 + (rsintheta)^2
Expandindo:
z = r^2cos^2theta + 2rcostheta + 1 + r^2sin^2theta z = r^2(cos^2theta + sin^2theta) + 2rcostheta + 1 z = r^2 + 2rcostheta + 1

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares:
V = integral0^2pi integral0^1 (r^2 + 2rcostheta + 1) cdot r , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos pela função jacobiana r ao mudar para coordenadas polares.

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral0^1 (r^2 + 2rcostheta + 1) cdot r , dr = integral0^1 (r^3 + 2r^2costheta + r) , dr
Integrando termo a termo:
[ r^44 + 2r^33costheta + r^22 ]0^1 = 14 + 23costheta + 12
Simplificando:
14 + 12 = 34 Portanto, a integral interna resu

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
V = integral0^2pi ( 34 + 23costheta ) dtheta
Dividindo a integral:
V = 34 integral0^2pi dtheta + 23 integral0^2pi costheta , dtheta
Calculando cada parte:
34 cdot (2pi - 0) = 34 cdot 2pi = 3pi2 23 cdot [ sintheta ]0^2pi = 23 (0 - 0) = 0

Passo 10

Somando os resultados:
V = 3pi2 + 0 = 3pi2

Resposta

O volume da região delimitada é dfrac3pi2 unidades cúbicas.

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