Determine o volume da região delimitada pelo plano
, pelo cilindro
e pelo parabolóide
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos encontrar o volume da região que está limitada pelo plano
, pelo cilindro
e pelo paraboloide
. Para resolver isso, vamos utilizar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, para calcular o volume dessa região tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos analisando. O cilindro
é um cilindro circular com raio 1, deslocado 1 unidade no eixo x. O paraboloide
é uma superfície que se abre para cima. O plano
corresponde a
. Nosso objetivo é encontrar o volume entre o paraboloide, o cilindro e o plano
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla sobre a região
projetada no plano
. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a função do paraboloide, ou seja,
, e
é o plano
, que é
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração sobre a região
. A equação do cilindro é
. Vamos simplificar essa equação:
Expandindo:
Podemos completar o quadrado para facilitar a mudança para coordenadas polares:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro no ponto
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos utilizar coordenadas polares deslocadas, onde
e
. No entanto, para simplificar ainda mais, vamos centralizar o cilindro no ponto
.
Nesse sistema, os limites para
vão de
a
, já que o raio do cilindro é 1, e
vai de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 6
Expressando
e
em coordenadas polares:
A expressão para
no paraboloide fica:
Expandindo:
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, multiplicamos pela função jacobiana
ao mudar para coordenadas polares.
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Dividindo a integral:
Calculando cada parte:
Passo 10
Somando os resultados:
Resposta
O volume da região delimitada é
unidades cúbicas.