Utilizando coordenadas polares, determine a parametrização da parte do plano que está dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente parametrizar a parte do plano que está dentro do cilindro usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente mudança de coordenadas e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto no plano é dada por , onde:
é a distância do ponto até a origem.
é o ângulo que a linha que conecta o ponto à origem faz com o eixo positivo .
As relações para converter de coordenadas polares para cartesianas são:
Passo 3
Agora, vamos usar essas relações para substituir e na equação do plano . Fazendo isso:
Simplificando:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites para e . O cilindro em coordenadas polares é:
Isso significa que varia de até . O ângulo completa uma volta completa, então varia de a .
Passo 5
Com todas as partes prontas, podemos escrever a parametrização completa. Em coordenadas polares, a parametrização do ponto será dada por e , onde:
E os limites são e .
Resposta
A parametrização da parte do plano que está dentro do cilindro em coordenadas polares é dada por: