Utilizando coordenadas polares, determine a parametrização da parte do plano 2x+3y+z=8 que está dentro do cilindro x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente parametrizar a parte do plano 2x + 3y + z = 8 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 16 usando coordenadas polares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente mudança de coordenadas e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto no plano é dada por (r, theta), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo que a linha que conecta o ponto à origem faz com o eixo positivo x.
As relações para converter de coordenadas polares para cartesianas são:
x = r cos theta
y = r sin theta

Passo 3

Agora, vamos usar essas relações para substituir x e y na equação do plano 2x + 3y + z = 8. Fazendo isso:
2(r cos theta) + 3(r sin theta) + z = 8
Simplificando:
2r cos theta + 3r sin theta + z = 8
Resolvendo para z:
z = 8 - 2r cos theta - 3r sin theta

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites para r e theta. O cilindro x^2 + y^2 = 16 em coordenadas polares é:
r^2 = 16 implies r = 4
Isso significa que r varia de 0 até 4. O ângulo theta completa uma volta completa, então varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Com todas as partes prontas, podemos escrever a parametrização completa. Em coordenadas polares, a parametrização do ponto (x, y, z) será dada por r e theta, onde:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = 8 - 2r cos theta - 3r sin theta
E os limites são 0 <= r <= 4 e 0 <= theta < 2pi.

Resposta

A parametrização da parte do plano 2x + 3y + z = 8 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 16 em coordenadas polares é dada por:
x = r cos theta y = r sin theta z = 8 - 2r cos theta - 3r sin theta
com 0 <= r <= 4 e 0 <= theta < 2pi.

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