Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
f=x i+y j+z k para fora da porção de cilindro x^2+y^2=1, delimitado pelos planos z=0 e z=a
Thomas 12ed exer 16.6.24

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo f(x,y,z)=x,i+y,j+z,k através da superfície lateral do cilindro x^2+y^2=1 entre os planos z=0 e z=a, com a normal apontando para fora. O conteúdo é integral de superfície de campos vetoriais e usaremos coordenadas cilíndricas para parametrizar a lateral.

Passo 2

Parametrizamos a superfície lateral por
r(theta,z) = (costheta,;sintheta,;z),
com thetain[0,2pi] e zin[0,a]. Os vetores tangentes são
rtheta = (-sintheta,;costheta,;0), rz = (0,0,1)
O vetor normal não unitário é
rthetatimesrz = i&j&k -sintheta&costheta&00&0&1 = (costheta,;sintheta,;0)
Note que |rthetatimesrz|=1, de modo que dS=dtheta,dz.

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos
f(costheta,sintheta,z) = (costheta,;sintheta,;z)
e o vetor normal unitário voltado para fora é
n=(costheta,sintheta,0).
Logo
fcdotn =(costheta,sintheta,z)cdot(costheta,sintheta,0) =cos^2theta+sin^2theta=1
Portanto o integrando fcdotn,dS = 1cdot dtheta,dz.

Passo 4

Agora integramos em theta de 0 a 2pi e em z de 0 a a:
integral duplaSfcdotn,dS =integral0^a!integral0^2pi1,dtheta,dz =integral0^a(2pi),dz =2pi a

Resposta

O fluxo de f através da porção lateral do cilindro é 2pi a.

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