Calcule os seguintes limites:
lim substackx 0 y 2 raiz[x](1+x)(y-2y^2-4)^2 x

Passo 1

O enunciado pede
Este é um limite duplo que envolve uma raiz de índice . Vamos usar propriedades de potências e limites conhecidos, além de simplificar a fração .

Passo 2

Repare que
raiz[x](1+x)l(tfracy-2y^2-4r)^2x =l[(1+x),( (y-2)/(y^2-4) )^2xr]^!1/x
e, como (AB)^1/x=A^1/xB^1/x, podemos separar em
(1+x)^1/x;times;l((y-2)/(y^2-4)r)^2xcdot1x =(1+x)^1/x;times;l((y-2)/(y^2-4)r)^2

Passo 3

Calcular
limxto0(1+x)^1/x
Este é um limite clássico que vale
e

Passo 4

Agora analisamos
l((y-2)/(y^2-4)r)^2 quando yto2
Para yneq2,
y-2y^2-4 =y-2(y-2)(y+2) =1y+2,
logo, ao sentirmos yto2, isso tende a 1/(2+2)=1/4. Elevando ao quadrado dá
l(tfrac14r)^2 =tfrac116

Passo 5

Juntando os dois fatores, o limite valem
e times 116 =e16

Resposta

e16

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