Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
(1+x^4) d y+x(1+4 y^2) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
l(1+x^4r),dy + xl(1+4y^2r),dx = 0
e pede para verificar se ela é separável. Em caso afirmativo, queremos encontrar sua solução geral e dizer se ela fica em forma explícita y=y(x) ou implícita.

Passo 2

Primeiro isolamos dy/dx. Dividindo por dx e por 1+x^4,
dydx = -,xl(1+4y^2r)1+x^4
que pode ser escrito como
dy1+4y^2 = -,x1+x^4,dx
Vemos que as variáveis estão separadas: todo termo em y está no lado esquerdo e todo termo em x no lado direito.

Passo 3

Integramos em ambos os lados. No lado de y:
integral dy1+4y^2 = integral dy1+(2y)^2 = 12arctanl(2yr) + C1

Passo 4

No lado de x:
integral -,x1+x^4,dx = -tfrac12integral d(x^2)1+(x^2)^2 = -tfrac12,arctanl(x^2r) + C2

Passo 5

Igualando as duas primitivas (absorvendo C1-C2 num único C) obtemos
tfrac12,arctanl(2yr) = -tfrac12,arctanl(x^2r) + C Longrightarrow arctanl(2yr) + arctanl(x^2r) = C'
Essa é a forma implícita da solução geral. Para ter a forma explícita, basta isolar y:
2y = tan!l(C' - arctan(x^2)r) Longrightarrow y(x) = tfrac12,tan!l(C' - arctan(x^2)r)

Resposta

A EDO é separável.
Solução implícita:
arctanl(2yr) + arctanl(x^2r) = C'
Forma explícita:
y(x) = tfrac12,tan!l(C' - arctan(x^2)r)

Exercícios relacionados