Calcule o fluxo do
através da
superficie
que é fronteira do domínio
com normal apontando para o exterior.
Escolha uma opção:
superficie
com normal apontando para o exterior.
Escolha uma opção:
Passo 1
O problema pede o fluxo do campo
através da superfície que é fronteira do domínio
, com normal para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência.
Passo 2
Calcular a divergência de
. Temos
$$
abla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+3z) + \frac{\partial}{\partial y}(2zx) + \frac{\partial}{\partial z}(\log(1+x^2)) = 2x + 0 + 0 = 2x.
$$
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Passo 4
Projetar
no plano
. O conjunto projetado é
pois para
não há
satisfazendo
. Em cada ponto de
,
varia de
até
.
Passo 5
Como o integrando não depende de
, fazemos primeiro
Então
Passo 6
Escolher coordenadas: em
temos
Logo
Passo 7
Calcular a integral em
:
Passo 8
Restou a integral em
:
Expandindo e integrando termo a termo, obtemos