Calcule o fluxo do
campo^F(x, y, z)=(x^2+3 z, 2 z x, log (1+x^2)) através da
superficie S que é fronteira do domínio
Omega=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2 <= 1,-y-12 <= z <= y+12, x >= 0
com normal apontando para o exterior.
Escolha uma opção:
4996
4596
4532
4396
12

Passo 1

O problema pede o fluxo do campo F(x,y,z) = (x^2 + 3z,;2zx,;log(1+x^2)) através da superfície que é fronteira do domínio Omega:;x^2+y^2<=1,;-y-tfrac12<= z<= y+tfrac12,;x>=0, com normal para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calcular a divergência de F. Temos
$$
abla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+3z) + \frac{\partial}{\partial y}(2zx) + \frac{\partial}{\partial z}(\log(1+x^2)) = 2x + 0 + 0 = 2x.
$$

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplapartialOmega Fcdotn,dS = integral triplaOmega (nablacdotF),dV = integral triplaOmega 2x,dV

Passo 4

Projetar Omega no plano xy. O conjunto projetado é
D = (x,y): x^2+y^2<=1,;x>=0,;y>= -tfrac12,
pois para y< -tfrac12 não há z satisfazendo -y-tfrac12<= z<= y+tfrac12. Em cada ponto de D, z varia de zinf=-y-tfrac12 até zsup=y+tfrac12.

Passo 5

Como o integrando não depende de z, fazemos primeiro
integralzinf^zsup2x,dz = 2xl[(y+tfrac12)-(-y-tfrac12)r] = 2x(2y+1)
Então
integral triplaOmega2x,dV = integral duplaD2x(2y+1),dA

Passo 6

Escolher coordenadas: em D temos
xin[0,raiz1-y^2], yin[-tfrac12,1]
Logo
integral duplaD2x(2y+1),dA = integraly=-1/2^1integralx=0^raiz1-y^22x(2y+1),dx,dy

Passo 7

Calcular a integral em x:
integral0^raiz1-y^22x(2y+1),dx = (2y+1)integral0^raiz1-y^22x,dx = (2y+1)[x^2]0^raiz1-y^2 = (2y+1)(1-y^2)

Passo 8

Restou a integral em y:
integral-1/2^1(2y+1)(1-y^2),dy = integral-1/2^1(1 +2y -y^2 -2y^3),dy
Expandindo e integrando termo a termo, obtemos
l[y + y^2 - tfracy^33 - tfracy^42r]-1/2^1 = 4532

Resposta

4532

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