Seja S o elipsoide 4 x^2+2 y^2+2 z^2=1. Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral
integral duplaS x^2+y(z+x^2)+z(x^2+y^2)raiz16 x^2+4 y^2+4 z^2 d S
Escolha uma opção:
pi12
pi6
3 pi2
pi4
2 pi3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=integral duplaSx^2+yl(z+x^2r)+zl(x^2+y^2r)raiz16x^2+4y^2+4z^2,dS
sobre o elipsoide 4x^2+2y^2+2z^2=1, usando o Teorema de Gauss (divergência).

Passo 2

Para transformar a integral de superfície em integral de volume, escolhemos um campo vetorial F=(F1,F2,F3) tal que
reproduza (até constante) o integrando, onde Fcdotn = Fcdotnabla Glvertnabla Grvert define G=4x^2+2y^2+2z^2-1. Como
S
vemos que
nabla G=(8x,4y,4z),
logo a integral original vale
1raiz16x^2+4y^2+4z^2=2|nabla G|,

Passo 3

Escolhendo
F1=x(1+y+z)8, F2=z(1+y)4, F3=0
verificamos que
8xF1+4yF2+4zF3=x^2+yx^2+zx^2+yz+y^2z
que é exatamente o numerador do integrando. Em seguida,
nablacdot F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z =1+y+z8+z4 =18+y8+3z8

Passo 4

Substituindo em I=2integral triplaV(nablacdot F),dV e usando que V é o interior do elipsoide simétrico, temos
I=2integral triplaVl(tfrac18+tfracy8+tfrac3z8r)dV =14l(integral triplaV1,dV+integral triplaVy,dV+3integral triplaVz,dVr)
Pela simetria, integral triplaVy,dV=integral triplaVz,dV=0, restando
I=14,Vol(V)

Passo 5

O volume de V, dado pelo elipsoide x^2/(1/4)+y^2/(1/2)+z^2/(1/2)=1, é
Vol(V)=43pi a b c =43pil(tfrac12r)l(tfrac1raiz2r)l(tfrac1raiz2r)=pi3
Logo
I=14cdotpi3=pi12

Resposta

pi12

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