Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total
, onde
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o diferencial total da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a definição de diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do diferencial total. Se temos uma função
, o diferencial total
é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Sabemos que
, onde
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Então:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Seguindo o mesmo raciocínio:
Derivando
em relação a
:
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Mais uma vez:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, é só substituir na fórmula do diferencial total:
Resposta
O diferencial total
da função
é: