Para as funções abaixo indicadas, calcule o diferencial total d w, onde
w=ln (x^2+y^2+e^z^2),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o diferencial total da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a definição de diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do diferencial total. Se temos uma função dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy + partial wpartial z dz , o diferencial total é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = 1x^2 + y^2 + e^z^2 cdot partialpartial x(x^2 + y^2 + e^z^2) em relação a partial upartial x = 2x , denotada por partial wpartial x = 2xx^2 + y^2 + e^z^2 .
Sabemos que , onde . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Então:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = 1x^2 + y^2 + e^z^2 cdot partialpartial y(x^2 + y^2 + e^z^2) em relação a partial upartial y = 2y , ou seja, partial wpartial y = 2yx^2 + y^2 + e^z^2 .
Seguindo o mesmo raciocínio:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial z = 1x^2 + y^2 + e^z^2 cdot partialpartial z(x^2 + y^2 + e^z^2) em relação a partial upartial z = 2z e^z^2 , ou seja, partial wpartial z = 2z e^z^2x^2 + y^2 + e^z^2 .
Mais uma vez:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, é só substituir na fórmula do diferencial total:
dw = 2xx^2 + y^2 + e^z^2 dx + 2yx^2 + y^2 + e^z^2 dy + 2z e^z^2x^2 + y^2 + e^z^2 dz

Resposta

O diferencial total dw = 2xx^2 + y^2 + e^z^2 , dx + 2yx^2 + y^2 + e^z^2 , dy + 2z e^z^2x^2 + y^2 + e^z^2 , dz da função é:

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