Considere
a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma parte do paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ que está abaixo do plano $ z = 3 - 2y $. O objetivo é calcular a integral dupla sobre essa superfície $ S $ de $ \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{1+4 z}} , dS $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariable, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a região onde o paraboloide está abaixo do plano. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para identificar a região de integração:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a variável $ y $:
Isso representa um círculo no plano $ xy $ com raio 2 e centro em $ (0, -1) $.
Passo 4
Com essa informação, sabemos que a região de integração é um círculo de raio 2 centrado em $ (0, -1) $. Agora, vamos parametrizar a superfície $ S $ usando $ x $ e $ y $ como variáveis:
O elemento de área $ dS $ para uma superfície $ z = f(x, y) $ é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Substituindo $ z = x^{2} + y^{2} $ na integral original:
Isso simplifica a integral para apenas calcular a área da região $ R $, que é o círculo de raio 2.
Passo 6
A área de um círculo é dada por $ \pi r^{2} $. Com $ r = 2 $: