Considere S a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=3-2 y. O valor da integral integral duplaS 1raiz1+4 z d S é:
Escolha uma opção:
pi
11 pi4
4 pi
5 pi4
7 pi8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma parte do paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ que está abaixo do plano $ z = 3 - 2y $. O objetivo é calcular a integral dupla sobre essa superfície $ S $ de $ \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{1+4 z}} , dS $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariable, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a região onde o paraboloide está abaixo do plano. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 + y^2 = 3 - 2y
Vamos reorganizar essa equação para identificar a região de integração:
x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável $ y $:
y
Isso representa um círculo no plano $ xy $ com raio 2 e centro em $ (0, -1) $.

Passo 4

Com essa informação, sabemos que a região de integração é um círculo de raio 2 centrado em $ (0, -1) $. Agora, vamos parametrizar a superfície $ S $ usando $ x $ e $ y $ como variáveis:
(0, -1)
O elemento de área $ dS $ para uma superfície $ z = f(x, y) $ é dado por:
S
Calculando as derivadas parciais:
x
Então,
y

Passo 5

Substituindo $ z = x^{2} + y^{2} $ na integral original:
z = x^2 + y^2
Isso simplifica a integral para apenas calcular a área da região $ R $, que é o círculo de raio 2.

Passo 6

A área de um círculo é dada por $ \pi r^{2} $. Com $ r = 2 $:
pi r^2 Á

Resposta

4,pi

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