Calcule o fluxo do campo F através da superfície S e, quando possível, use o Teorema da Divergência de Gauss para comprovar o resultado:
F=2 i+5 j+3 k ; S é a porção do cone z=raizx^2+y^2 interna ao cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F=(2,5,3) através da superfície aberta S, que é a parte do cone
z = raizx^2+y^2
para x^2+y^2<=1. O conteúdo principal é cálculo de fluxo
integral duplaSvec Fcdothat n,dS
e, como S não é fechada, a gente vai depois completar o fecho com o disco x^2+y^2=1, z=1 e usar o Teorema da Divergência para conferir o resultado.

Passo 2

Parametrizamos S em coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, z=r, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi
Então
Rr=(costheta,;sintheta,;1), Rtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;0)
O vetor normal orientado para fora do volume acima do cone (isto é, com componente radial positiva) é
Rthetatimes Rr =(rcostheta,;rsintheta,;-r),d r,dtheta

Passo 3

O produto escalar é
vec Fcdot(Rthetatimes Rr) =2(rcostheta)+5(rsintheta)-3,r
Integrando em theta de 0 a 2pi e em r de 0 a 1, os termos com costheta e sintheta somam zero, sobrando
PhiS =integral0^2pi!integral0^1[-3r],dr,dtheta =-3l(integral0^2pidthetar)l(integral0^1r,drr) =-3,(2pi),12 =-3pi

Passo 4

Para conferir com Gauss, considere o volume V entre o cone z=r e o disco Dcolon x^2+y^2<=1,;z=1. Como nablacdotvec F=0, o fluxo total na fronteira Scup D é zero:
PhiS+PhiD =integral triplaV(nablacdotvec F),dV=0
O fluxo no disco D (com normal hat k para fora) é
PhiD =integral duplaDvec Fcdothat k,dS =integral duplaD3,dS =3cdotpicdot1^2 =3pi
Logo PhiS=-PhiD=-3pi, confirmando o cálculo direto.

Resposta

-3pi

Exercícios relacionados