Questão 2 (2,5 pontos)
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
y^prime prime-7 y^prime+12 y=4+2 x+2 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear
y'' - 7y' + 12y = 4 + 2x + 2e^3x
pelo método dos coeficientes a determinar. Trata-se de uma EDOLCH (equação diferencial ordinária linear de coeficientes constantes). Para resolver, primeiro vamos obter a solução da parte homogênea via equação característica; depois propomos um ansatz para a parte particular, compatível com o termo forçante (polinomial de grau 1 e exponencial); por fim determinamos os coeficientes comparando termos semelhantes.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y'' - 7y' + 12y = 0
A equação característica é
r^2 - 7r + 12 = 0,
cuja solução é r=3 ou r=4. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^4x

Passo 3

Como o termo forçante é
f(x)=4 + 2x + 2e^3x,
vamos buscar uma particular da forma
yp(x) = Ax + B + Cx e^3x
Aqui Ax+B atende ao polinômio de grau 1 (e não colide com raízes da característica) e Cx e^3x atende ao termo 2e^3x, multiplicado por x porque e^3x já está na homogênea.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = A + C e^3x + 3C x e^3x,
yp''(x) = 6C e^3x + 9C x e^3x
Substituindo em y'' -7y' +12y e separando a parte polinomial, obtemos
12Ax + (12B -7A) = 2x + 4
Comparando coeficientes,
12A = 2 implies A = tfrac16, 12B -7A = 4 implies B = 4 + 7/612 = 3172

Passo 5

Na parte exponencial reunimos os termos em e^3x e em x e^3x. O coeficiente de x e^3x se anula automaticamente e o coeficiente de e^3x fica
6C - 7C = -C,
que deve igualar 2. Assim
-C = 2 implies C = -2

Passo 6

Concluímos que
yp(x) = 16x + 3172 ;-; 2x e^3x
Portanto a solução geral é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x + 16x + 3172 - 2x e^3x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x + 16x + 3172 - 2x e^3x

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