Questão 2 (2,5 pontos)
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear
pelo método dos coeficientes a determinar. Trata-se de uma EDOLCH (equação diferencial ordinária linear de coeficientes constantes). Para resolver, primeiro vamos obter a solução da parte homogênea via equação característica; depois propomos um ansatz para a parte particular, compatível com o termo forçante (polinomial de grau 1 e exponencial); por fim determinamos os coeficientes comparando termos semelhantes.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
cuja solução é
ou
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante é
vamos buscar uma particular da forma
Aqui
atende ao polinômio de grau 1 (e não colide com raízes da característica) e
atende ao termo
, multiplicado por
porque
já está na homogênea.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
e separando a parte polinomial, obtemos
Comparando coeficientes,
Passo 5
Na parte exponencial reunimos os termos em
e em
. O coeficiente de
se anula automaticamente e o coeficiente de
fica
que deve igualar
. Assim
Passo 6
Concluímos que
Portanto a solução geral é