Questão 1 (1,5 pontos)
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
& y^prime=4 x yx^2-9 & y(-4)=2

Passo 1

Resumindo, temos o PVI
y' = 4xyx^2 - 9, y(-4) = 2
É uma EDO de variável separável, pois podemos escrever tfracdydx = g(x),h(y). Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis y e x:
1y,dy = 4xx^2 - 9,dx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Calculemos as integrais:
integral 1y,dy = integral 4xx^2 - 9,dx
No lado esquerdo vem ln|y|. No direito, note que
ddxl(x^2 - 9r) = 2x,
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integral 4xx^2 - 9,dx = 2 integral 2xx^2 - 9,dx = 2 lnl|x^2 - 9r| + C
Portanto
ln|y| = 2 lnl|x^2 - 9r| + C1

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
|y| = e^C1,l|x^2 - 9r|^2
Chamando K = pm e^C1, fica
y = K,(x^2 - 9)^2
Usamos a condição y(-4)=2. Como (-4)^2 - 9 = 7, temos
2 = Kcdot 7^2 = 49K Longrightarrow K = 249
Logo
y(x) = 249,(x^2 - 9)^2

Passo 5

O campo de direção é singular onde x^2 - 9 = 0, isto é, em x = pm 3. A solução não pode ser estendida através desses pontos. Como a condição inicial está em x=-4, o intervalo máximo de definição que contém -4 é
(-infty,,-3)

Resposta

y(x) = 249,(x^2 - 9)^2, domínio máximo: xin(-infty,-3) íá

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