Questão 1 (1,5 pontos)
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
Passo 1
Resumindo, temos o PVI
É uma EDO de variável separável, pois podemos escrever . Vamos resolver por separação de variáveis.
Passo 2
Separamos as variáveis e :
Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
Calculemos as integrais:
No lado esquerdo vem . No direito, note que
logo
Portanto
ln|y| = 2 lnl|x^2 - 9r| + C1
Passo 4
Exponenciando, obtemos a solução geral
|y| = e^C1,l|x^2 - 9r|^2
Chamando K = pm e^C1, fica
y = K,(x^2 - 9)^2
Usamos a condição y(-4)=2. Como (-4)^2 - 9 = 7, temos
2 = Kcdot 7^2 = 49K Longrightarrow K = 249
Logo
y(x) = 249,(x^2 - 9)^2
Passo 5
O campo de direção é singular onde x^2 - 9 = 0, isto é, em x = pm 3. A solução não pode ser estendida através desses pontos. Como a condição inicial está em x=-4, o intervalo máximo de definição que contém -4 é