Calcule o fluxo do campo através da superfície e, quando possível, use o Teorema da Divergência de Gauss para comprovar o resultado: ; é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera de equação .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo através da superfície fechada que é a fronteira do volume no primeiro octante definido por , , e pela esfera . O conteúdo principal é o Teorema da Divergência de Gauss.
Passo 2
Calcular a divergência de :
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência:
Passo 4
Para verificar, analisamos as três faces planas:
– Em , o vetor normal exterior é e .
– Em y=0, o normal exterior é -vec j e vec Fcdot(-vec j)=y|y=0=0.
– Em z=0, o normal exterior é -vec k e vec F não tem componente em vec k, logo vec Fcdot(-vec k)=0.
Todas as faces planas não contribuem para o fluxo.
Passo 5
Como o fluxo total através de S é zero e as faces planas não contribuem, o fluxo através da parte esférica também deve ser zero.