Calcule o fluxo do campo F através da superfície S e, quando possível, use o Teorema da Divergência de Gauss para comprovar o resultado:
F=x i-y j; S é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera de equação x^2+y^2+z^2=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vec F = xvec i - yvec j através da superfície fechada S que é a fronteira do volume V no primeiro octante definido por x=0, y=0, z=0 e pela esfera x^2+y^2+z^2=R^2. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência de Gauss.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(x) + partialpartial y(-y) + partialpartial z(0) = 1 - 1 + 0 = 0

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaV(nablacdotvec F),dV = integral triplaV0,dV =0

Passo 4

Para verificar, analisamos as três faces planas:
– Em x=0, o vetor normal exterior é -vec i e vec Fcdot(-vec i)=-x|x=0=0.
– Em y=0, o normal exterior é -vec j e vec Fcdot(-vec j)=y|y=0=0.
– Em z=0, o normal exterior é -vec k e vec F não tem componente em vec k, logo vec Fcdot(-vec k)=0.
Todas as faces planas não contribuem para o fluxo.

Passo 5

Como o fluxo total através de S é zero e as faces planas não contribuem, o fluxo através da parte esférica também deve ser zero.

Resposta

0

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