Verifique que as superfícies x^2+y^2-z^2=0 e x^2+y^2+z^2=1 possuem vetores normais mutuamente ortogonais em todos os pontos da interseção.

Passo 1

O enunciado nos dá duas superfícies de nível em R^3:
F1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0
F2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1
Queremos mostrar que, em qualquer ponto da curva de interseção (onde ambas as igualdades valem), os vetores normais a essas superfícies são ortogonais. Lembrando que o vetor normal a uma superfície definida por F(x,y,z)=constante é dado pelo gradiente nabla F.

Passo 2

Vamos calcular os gradientes de F1 e F2.
nabla F1(x,y,z) =l(partial F1partial x,partial F1partial y,partial F1partial zr) =(2x,;2y,;-2z),
nabla F2(x,y,z) =l(partial F2partial x,partial F2partial y,partial F2partial zr) =(2x,;2y,;2z)

Passo 3

Agora calculamos o produto interno entre esses dois vetores normais:
nabla F1cdotnabla F2 =(2x)(2x)+(2y)(2y)+(-2z)(2z) =4x^2+4y^2-4z^2

Passo 4

Na interseção das superfícies vale F1(x,y,z)=0, isto é,
x^2+y^2-z^2=0 Longrightarrow x^2+y^2=z^2
Substituindo em 4x^2+4y^2-4z^2 temos
4(x^2+y^2-z^2)=4cdot 0=0
Logo o produto interno nabla F1cdotnabla F2 é zero em toda a interseção.

Resposta

Os vetores normais são ortogonais em todos os pontos da interseção, pois o produto interno dos gradientes é zero.

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