Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=-y imath+x jmath+f(x, y, z) k, através da superfície fechada S : lata cilíndrica com fundo e com tampa dada por x^2+y^2=1, a <= z <= b e x^2+y^2 <= 1, z=a e x^2+y^2 <= 1, z=b, sabendo-se que f é contínua, f(x, y, a)=A e f(x, y, b)=B, onde A e B são constantes, com n apontando para fora de S.

Passo 1

Estamos lidando com o campo vetorial vec F(x,y,z)=(-y,,x,,f(x,y,z)) e a superfície S é o cilindro fechado de raio 1 entre z=a e z=b. O objetivo é calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec n,dS. Vamos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F. Temos:
nablacdotvec F=partial(-y)partial x+partial xpartial y+partial fpartial z=0+0+partial fpartial z=partial fpartial z

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência que diz:
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral triplaV(nablacdotvec F),dV=integral triplaVpartial fpartial z,dV

Passo 4

Fazer a integração em coordenadas cartesianas separando z:
integral triplaVpartial fpartial z,dV=integral duplax^2+y^2<=1l(integralz=a^bpartial fpartial z,dzr)dA=integral duplax^2+y^2<=1l[f(x,y,b)-f(x,y,a)r]dA

Passo 5

Como f(x,y,b)=B e f(x,y,a)=A são constantes, o integrando é B-A. Logo:
integral duplax^2+y^2<=1(B-A),dA=(B-A)cdotÁrea do disco= (B-A)cdotpiÁ

Resposta

pi,(B - A)

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