Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=x^2 imath-jmath+k, S : fronteira do cubo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1, vetor normal n exterior.

Passo 1

A questão pede pra calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec n,dS de um campo de vetores vec F(x,y,z)=x^2,vecimath-vecjmath+vec k através da superfície fechada S que é a fronteira do cubo [0,1]^3. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Gauss), e vamos precisar calcular a divergência de vec F e depois fazer uma integral tripla sobre o volume do cubo.

Passo 2

Como S é uma superfície fechada e vec n aponta para fora, usamos o Teorema da Divergência:
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral triplaVnablacdotvec F,dV

Passo 3

Agora calculamos a divergência de vec F. Como vec F=(x^2,-1,1), temos
nablacdotvec F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(-1) + partialpartial z(1) = 2x + 0 + 0 = 2x

Passo 4

Substituindo na integral tripla sobre o cubo [0,1]^3, obtemos
integral triplaV2x,dV = integral0^1integral0^1integral0^12x,dz,dy,dx

Passo 5

Como a integral em z e em y são sobre intervalos de comprimento 1, elas só produzem fator 1. Logo sobrou
integral0^12x,dx = [x^2]0^1 = 1

Resposta

1

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