Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=1N+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) y'+y^2sin t=0, com y(0)=1/(N+1). Isso cai em equações diferenciais de primeira ordem e separáveis, então vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável: temos y'=-y^2sin t, ou seja
dydt=-y^2sin tLongrightarrowdyy^2=-sin t,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy=integral -sin t,dtLongrightarrow -1y=cos t+C

Passo 4

Para determinar a constante C, usamos t=0 e y(0)=1/(N+1):
-11/(N+1)=cos0+CLongrightarrow-(N+1)=1+CLongrightarrow C=-N-2

Passo 5

Substituindo C na solução implícita e isolando y:
-1y=cos t-(N+2)Longrightarrow1y=N+2-cos tLongrightarrow y=1N+2-cos t

Resposta

y(t)=1N+2-cos t

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