Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(N+1)-y, y(0)=N+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y' = (N+1) - y com condição inicial y(0)=N+2. Isso cai no conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos a equação na forma padrão y' + y = N+1. Aqui identificamos p(x) = 1 e q(x) = N+1. A teoria diz que, para y' + p(x)y = q(x), o fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por e^x:
e^x y' + e^x y = (N+1)e^x,
que reconhecemos como derivada de produto:
ddxl(e^x yr)=(N+1)e^x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
e^x y = (N+1)e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y e aplicamos y(0)=N+2:
y = N+1 + Ce^-x,
em x=0 vem N+2 = N+1 + C, logo C=1.

Resposta

y(x)=N+1+e^{-x}

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