Calcule o fluxo do campo F=rho r, onde r=(x, y, z) e rho=|r|, através da superfície que envolve o hemisfério x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0, orientada para dentro.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vec F = rho,vec r, com vec r=(x,y,z) e rho=|vec r|, através da superfície fechada que envolve o hemisfério x^2+y^2+z^2<= a^2,;z>=0, orientada para dentro. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência e a integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, precisamos calcular nablacdotvec F. Como vec F=rho,vec r e nablarho=vec rrho, temos
nablacdotvec F=nablacdot(rho,vec r)=3rho+vec rcdotnablarho=3rho+vec rcdotvec rrho=3rho+rho=4rho

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência com normal para dentro ( vec nin=-vec nout), o fluxo é
Phi=integral duplaSvec Fcdotvec nin,dS=-integral triplaV(nablacdotvec F),dV=-4integral triplaVrho,dV

Passo 4

Agora calculamos I=integral triplaVrho,dV no hemisfério. Em coordenadas esféricas ( r=rho, 0<=theta<=tfracpi2, 0<=phi<2pi):
I=integral0^2pi!dphiintegral0^pi/2!sintheta,dthetaintegral0^ar,(r^2,dr)=2picdot1cdota^44=pi2a^4

Passo 5

Substituindo em Phi=-4I, obtemos Phi=-4cdotpi2a^4=-2pi a^4.

Resposta

-2\pi a^4

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