Quais séries sumn=1^infty an definidas pelas fórmulas nos exercícios 27-38 convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
38. an=(3 n)!n!(n+1)!(n+2)!

Passo 1

O exercício pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty an, onde an=dfrac(3n)!n!,(n+1)!,(n+2)!. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão, pois é eficaz com fatores.

Passo 2

O teste da razão afirma que, definindo L=limntoinfty|an+1an|, temos: se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 a série diverge, e se L=1 o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos calcular dfracan+1an:
an+1an= (3(n+1))!(n+1)!,(n+2)!,(n+3)! times n!,(n+1)!,(n+2)!(3n)!= (3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+3)(n+2)(n+1)
Podemos reescrever essa expressão como
an+1an= 3(3n+2)(3n+1)(n+2)(n+3)

Passo 4

Agora determinamos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinfty(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+3)(n+2)(n+1)=27

Passo 5

Como L=27>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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