Considere a seguinte função:
f(x)=x^2-5 x-92 x^4+3 x^2
f possui assintotas verticais? Se sim, quais são elas?

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2-5x-92x^4+3x^2 e queremos descobrir se ela possui assíntotas verticais. Esse é um problema de função racional: para achar as assíntotas verticais, precisamos encontrar onde o denominador é zero (pontos de descontinuidade) e então analisar o comportamento de f(x) nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para ver seus zeros reais. Fatorando em etapas:
2x^4+3x^2=x^2(2x^2+3)

Passo 3

Da fatoração vemos que as raízes reais do denominador são dadas por x^2=0, ou seja, x=0. A outra equação 2x^2+3=0 não tem solução real. Assim, o único ponto a considerar é x=0.

Passo 4

Agora precisamos estudar o limite de f(x) quando xto0. Observamos que o numerador tende a
limxto0(x^2-5x-9)=-9
e o denominador tende a zero pela expressão x^2(2x^2+3), que é sempre positivo para xneq0. Portanto,
limxto0^+f(x)=limxto0^-f(x)=-90^+=-infty

Passo 5

Como ambos os limites laterais em x=0 divergem para -infty, concluímos que x=0 é uma assíntota vertical de f.

Resposta

A única assíntota vertical é x=0.

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