1. (2,0 pts.) Calcule o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=(y,-x, z) através da parte superior (acima do plano x y ) da superfície esférica de raio 1 un. Considere a parte externa da esfera como sendo o lado positivo. (Dica: trata-se de uma integral de superfície em campo vetorial, ou integral de fluxo).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(y,-x,z) através da parte superior da esfera de raio 1 (isto é, a semi-esfera com z\ge0), com orientação para fora (normal apontando para fora da bola). Vamos usar parametrização esférica e a definição de integral de superfície de campo vetorial:
\Phi = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Parametrizamos a semi-esfera por
\begin{cases} x=\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=\cos\varphi, \end{cases}
onde \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (altura) e \theta\in[0,2\pi]. Para a esfera de raio 1, o vetor normal unitário para fora coincide com \mathbf{n}=(x,y,z). A área elementar é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

No parâmetro, \mathbf{F}=(y,-x,z) e \mathbf{n}=(x,y,z). Então
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} = y\,x + (-x)\,y + z\,z = xy - xy + z^2 = z^2.
Como z=\cos\varphi, temos \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=\cos^2\varphi.

Passo 4

O fluxo é
\Phi = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \cos^2\varphi\;\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, os limites vão de u=1 a u=0, e
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0}u^2(-du) = \int_{0}^{1}u^2\,du = \frac{1}{3}.
Portanto,
\Phi = \int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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