(2,0 pts.) Calcule o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=(y,-x, z) através da parte superior (acima do plano x y ) da superfície esférica de raio 1 un. Considere a parte externa da esfera como sendo o lado positivo. (Dica: trata-se de uma integral de superfície em campo vetorial, ou integral de fluxo).
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(y,-x,z) através da parte superior da esfera de raio 1 (isto é, a semi-esfera com z\ge0), com orientação para fora (normal apontando para fora da bola). Vamos usar parametrização esférica e a definição de integral de superfície de campo vetorial:
onde \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (altura) e \theta\in[0,2\pi]. Para a esfera de raio 1, o vetor normal unitário para fora coincide com \mathbf{n}=(x,y,z). A área elementar é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
No parâmetro, \mathbf{F}=(y,-x,z) e \mathbf{n}=(x,y,z). Então