1. Verifique se o campo \vec{F}(x, y)=\left(e^{x}+2 y, 2 x+\cos y\right) é conservativo e, se for, utilize esse fato para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d r, onde C é o segmento de reta de (0,0) a (1,1).

Passo 1

Resumindo, a gente tem o campo \vec F(x,y)=(e^x+2y,\;2x+\cos y) e quer ver se ele é conservativo e, caso seja, usar isso pra calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r no segmento de reta de (0,0) até (1,1). O conteúdo é campo conservativo em \mathbb R^2, e o que vamos precisar é:
  1. Verificar a igualdade \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x.
  2. Encontrar a função potencial f (tal que \nabla f=\vec F).
  3. Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha: \int_C\vec F\cdot d\vec r = f(1,1)-f(0,0).

Passo 2

Para ver se \vec F é conservativo, chamamos P(x,y)=e^x+2y e Q(x,y)=2x+\cos y e calculamos
\frac{\partial P}{\partial y}=2,
\frac{\partial Q}{\partial x}=2.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} e o domínio \mathbb R^2 é simplesmente conexo, concluímos que \vec F é de fato conservativo.

Passo 3

Como \vec F é conservativo, existe f(x,y) tal que \nabla f=\vec F. Para achar f, integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int (e^x+2y)\,dx = e^x + 2xy + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Para determinar g(y), usamos a condição \partial f/\partial y = Q:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + g'(y) \overset!= 2x + \cos y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=\cos y.
Integrando,
g(y)=\int \cos y\,dy = \sin y + C.
Podemos escolher C=0, então
f(x,y)=e^x + 2xy + \sin y.

Passo 5

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campo conservativo,
\int_C\vec F\cdot d\vec r = f(1,1)-f(0,0).
Calculando:
f(1,1)=e^1 + 2\cdot1\cdot1 + \sin(1) = e + 2 + \sin(1),
f(0,0)=e^0 + 2\cdot0\cdot0 + \sin(0) = 1.
Logo
\int_C\vec F\cdot d\vec r = (e+2+\sin(1)) - 1 = e + 1 + \sin(1).

Resposta

\int_C \vec F\cdot d\vec r = e + 1 + \sin(1).

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