- Verifique se o campo
é conservativo e, se for, utilize esse fato para calcular
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Resumindo, a gente tem o campo
e quer ver se ele é conservativo e, caso seja, usar isso pra calcular
no segmento de reta de
até
. O conteúdo é campo conservativo em
, e o que vamos precisar é:
- Verificar a igualdade
. - Encontrar a função potencial
(tal que ). - Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha:
.
Passo 2
Para ver se
é conservativo, chamamos
e
e calculamos
Como
e o domínio
é simplesmente conexo, concluímos que
é de fato conservativo.
Passo 3
Como
é conservativo, existe
tal que
. Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
:
Integrando,
Podemos escolher
, então
Passo 5
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campo conservativo,
Calculando:
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