• (Questão 04) [2,0 pontos] Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases tais que
f1=e1-3 e2+e3 f2=e2-e3 f3=e1-e2
a) Escreva a matriz de mudança de F para E.
b) Exprima e1, e2 e e3 na base F.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de F para E e, em seguida, expressar os vetores da base E na base F. O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais: montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F na base E e depois invertemos essa matriz para obter as coordenadas dos vetores de E na base F.

Passo 2

Cada coluna da matriz de mudança PFto E é dado pelas coordenadas de fi na base E. Como
f1=e1-3e2+e3, f2=e2-e3, f3=e1-e2,
temos
PFto E = 1 & 0 & 1 -3& 1 & -1 1 & -1& 0

Passo 3

Para expressar os vetores de E na base F, precisamos de PEto F=(PFto E)^-1. Calculando o inverso:
det PFto E=1, adj(PFto E) = -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -2 2 & 1 & 1 ,
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PEto F =(PFto E)^-1 = -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -2 2 & 1 & 1

Passo 4

As colunas de PEto F são as coordenadas de e1,e2,e3 em F. Assim,
e1 =-1,f1 -1,f2 +2,f3,
e2 =-1,f1 -1,f2 +1,f3,
e3 =-1,f1 -2,f2 +1,f3

Resposta

a)
PFto E = 1 & 0 & 1 -3& 1 & -1 1 & -1& 0
b)
e1 =-f1-f2+2f3, e2 =-f1-f2+f3, e3 =-f1-2f2+f3

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