(Questão 04) [2,0 pontos] Sejam e F=(f1, f2, f3) bases tais que
f1=e1-3 e2+e3 f2=e2-e3 f3=e1-e2
a) Escreva a matriz de mudança de F para E.
b) Exprima e1, e2 e e3 na base F.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base de F para E e, em seguida, expressar os vetores da base E na base F. O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais: montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F na base E e depois invertemos essa matriz para obter as coordenadas dos vetores de E na base F.
Passo 2
Cada coluna da matriz de mudança PFto E é dado pelas coordenadas de fi na base E. Como
f1=e1-3e2+e3, f2=e2-e3, f3=e1-e2,
temos
PFto E = 1 & 0 & 1 -3& 1 & -1 1 & -1& 0
Passo 3
Para expressar os vetores de E na base F, precisamos de PEto F=(PFto E)^-1. Calculando o inverso: