Calcule o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z)=(x y-e^y^2, cos (z^3)+y z, 1-raiz[3]x y+x z)
através do sólido E delimitado pelo (semi) cone z=raizx^2+y^2 com z <= 4.
Dica: Note que, por delimitar um sólido, esta superfície é fechada.

Passo 1

Enunciado resumido: calcular o fluxo do campo vetorial
vec F(x,y,z)=(xy-e^y^2,,cos(z^3)+yz,,1-raiz[3]xy+xz)
através da superfície fechada que delimita o sólido E definido pelo cone z=√(x²+y²) até z=4. Matéria: Teorema da Divergência e integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F. Usando
P=xy-e^y^2, Q=cos(z^3)+yz, R=1-raiz[3]xy+xz,
temos
nablacdotvec F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z=y+z+x

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência: o fluxo através da superfície fechada é
integral duplapartial Evec Fcdot dvec S=integral triplaE( x+y+z ),dV

Passo 4

Por simetria cilíndrica, integral triplaE x,dV=integral triplaE y,dV=0. Logo resta
fluxo=integral triplaE z,dV

Passo 5

Usar coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, jacobiano r. A região E é dada por
0<=theta<=2pi,0<= z<=4,0<= r<= z
Então
integral triplaE z,dV=integral0^2pi!integral0^4!integral0^zz,r,dr,dz,dtheta

Passo 6

Calcular a integral:
integral0^zr,dr=z^22,
então
integral triplaE z,dV=integral0^2pidthetaintegral0^4zcdotz^22,dz=2piintegral0^4z^32,dz=piintegral0^4z^3,dz=pi[z^44]0^4=64pi

Resposta

64pi

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