Calcule
integral duplaS F cdot d S
em que F(x, y, z)=(x-y, y, z) e S é a parte do cilindro y^2+z^2=4 entre os planos x=y-3 e x=6-z, com o normal apontando para o exterior do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(x-y,y,z) pela parte do cilindro y^2+z^2=4 limitada pelos planos x=y-3 e x=6-z, com norma apontando para fora. Isso é um caso de integral de superfície do tipo integral duplaSvec Fcdot dvec S, e a gente vai parametrizar o cilindro e usar vec Fcdothat n,dS.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 2 por y=2costheta, z=2sintheta, e x varia entre as duas curvas de interseção com os planos. O vetor normal unitário (apontando pra fora) é hat n=(0,costheta,sintheta) e o elemento de área vale dS=R,dtheta,dx=2,dtheta,dx.

Passo 3

Substituindo na integranda, temos y=2costheta e z=2sintheta, então
vec Fcdothat n=(x-y,,y,,z)cdot(0,costheta,sintheta)=ycostheta+zsintheta=2cos^2theta+2sin^2theta=2

Passo 4

Logo o integrando vec Fcdothat n,dS=2times(2,dtheta,dx)=4,dtheta,dx. Agora, para cada theta, x varia de x1=y-3=2costheta-3 até x2=6-z=6-2sintheta.

Passo 5

O fluxo fica
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integraltheta=0^2piintegralx=2costheta-3^6-2sintheta4,dx,dtheta

Passo 6

Calculando a integral interna, o comprimento em x é
(6-2sintheta)-(2costheta-3)=9-2(sintheta+costheta), e assim
integral duplaSvec Fcdot dvec S=4integral0^2pi[9-2(sintheta+costheta)]dtheta=4l(9cdot2pi-2(0+0)r)=36cdot2pi=72pi

Resposta

72\pi

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