Calcule
em que
e
é a parte do cilindro
entre os planos
e
, com o normal apontando para o exterior do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela parte do cilindro
limitada pelos planos
e
, com norma apontando para fora. Isso é um caso de integral de superfície do tipo
, e a gente vai parametrizar o cilindro e usar
.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro de raio 2 por
,
, e
varia entre as duas curvas de interseção com os planos. O vetor normal unitário (apontando pra fora) é
e o elemento de área vale
.
Passo 3
Substituindo na integranda, temos
e
, então
Passo 4
Logo o integrando
. Agora, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
O fluxo fica
Passo 6
Calculando a integral interna, o comprimento em
é
Resposta
72\pi