Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y, z)=(raiz[5]x+1-2 z+z x, e^y^2+x z, x y+z^10+1)
para mover uma partícula através do quadrilátero de vértices (0,0,1),(0,1,1),(1,2,0) e (1,1,0), orientado no sentido antihorário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho ∮_C F·dr para o campo F dado, em torno do quadrilátero C com vértices (0,0,1),(0,1,1),(1,2,0),(1,1,0), orientado anti-horário visto de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma que ∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS, onde S é uma superfície com fronteira C.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com P= raiz[5]x+1-2z+zx, Q= e^y^2+xz, R= xy+z^10+1, temos
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Calculando cada componente:
partial R/partial y=x e partial Q/partial z=x, logo primeira componente é 0.
partial P/partial z=-2+x e partial R/partial x=y, logo segunda é x-y-2.
partial Q/partial x=z e partial P/partial y=0, logo terceira é z.
Portanto nablatimes F=(0,,x-y-2,,z).

Passo 3

A superfície S é o plano que passa por C. Observando os pontos, vemos que satisfazem x+z=1. Como a curva é orientada anti-horário vista de cima, o vetor normal de S deve ter componente z>0. Tomamos o normal não normalizado (1,0,1).

Passo 4

Parametrizamos S projetando em (x,y): z=1-x. O vetor unitário normal é n=(1,0,1)/raiz2 e o elemento de área é dS=raiz2,dA. Assim
(nablatimes F)cdot n,dS = (0,,x-y-2,,z)cdot(1,0,1)raiz2,raiz2,dA = z,dA
No plano xy, C projeta-se no quadrilátero com vértices (0,0),(0,1),(1,2),(1,1). Para 0≤x≤1, y varia de y=x até y=x+1. Como z=1-x, o integral de superfície é
integral duplaD z,dA = integralx=0^1integraly=x^x+1(1-x),dy,dx

Passo 5

Calculando:
integral0^1(1-x)l[(x+1)-xr]dx = integral0^1(1-x),dx = l[x-tfracx^22r]0^1 = 1-tfrac12 = tfrac12

Resposta

tfrac12

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