Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças
para mover uma partícula através do quadrilátero de vértices
e
, orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do trabalho ∮_C F·dr para o campo F dado, em torno do quadrilátero C com vértices (0,0,1),(0,1,1),(1,2,0),(1,1,0), orientado anti-horário visto de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma que ∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS, onde S é uma superfície com fronteira C.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de F. Escrevendo F=(P,Q,R) com P=
, Q=
, R=
, temos
Calculando cada componente:
– e
, logo primeira componente é 0.
– e
, logo segunda é
.
– e
, logo terceira é
.
Portanto .
–
–
–
Portanto
Passo 3
A superfície S é o plano que passa por C. Observando os pontos, vemos que satisfazem x+z=1. Como a curva é orientada anti-horário vista de cima, o vetor normal de S deve ter componente z>0. Tomamos o normal não normalizado
.
Passo 4
Parametrizamos S projetando em (x,y):
. O vetor unitário normal é
e o elemento de área é
. Assim
No plano xy, C projeta-se no quadrilátero com vértices (0,0),(0,1),(1,2),(1,1). Para 0≤x≤1, y varia de y=x até y=x+1. Como z=1-x, o integral de superfície é
Passo 5
Calculando: