Calcule o fluxo do campo vetorial
definido por
, através do hemisfério norte da superfície esférica de raio unitário. Resp:
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através do hemisfério norte
da esfera unitária, orientado para fora do volume acima do plano
. Vamos usar o Teorema da Divergência.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
O Teorema da Divergência diz que o fluxo total pelo contorno do volume
(meia-bola) é igual a
Passo 4
O volume de uma meia-bola de raio
é
. Logo,
$$
\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F}),dV = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi.$$
O contorno é formado pelo hemisfério
mais o disco no plano
. No disco temos o vetor normal
e
, portanto o fluxo pelo disco é nulo.
O contorno
Passo 5
Como o fluxo total pelo contorno é
e o disco não contribui, o fluxo através do hemisfério norte é
.
Resposta
2\pi