Calcule o fluxo do campo vetorial F: R^3 R^3 definido por F(x, y, z)=(x-y-4, y, z), através do hemisfério norte da superfície esférica de raio unitário. Resp: 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x - y - 4,,y,,z) através do hemisfério norte S da esfera unitária, orientado para fora do volume acima do plano z=0. Vamos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(x - y - 4) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

O Teorema da Divergência diz que o fluxo total pelo contorno do volume V (meia-bola) é igual a
integral duplapartial V Fcdotn,dS = integral triplaV (nablacdotF),dV

Passo 4

O volume de uma meia-bola de raio 1 é tfrac23pi(1)^3 = tfrac2pi3. Logo,
$$
\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F}),dV = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi.$$
O contorno integral triplaV (nablacdotF),dV = 3 times 2pi3 = 2pi é formado pelo hemisfério partial V mais o disco no plano S. No disco temos o vetor normal z=0 e -k, portanto o fluxo pelo disco é nulo.

Passo 5

Como o fluxo total pelo contorno é 2pi e o disco não contribui, o fluxo através do hemisfério norte é 2pi.

Resposta

2\pi

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