Dados vetores
e
, onde
é um vetor constante, mostre que
, onde
e n é a normal à superfície
.
Passo 1
Resumo da questão: temos o vetor posição
e definimos o campo vetorial
, onde
é constante. Queremos mostrar que a integral de linha
ao longo do contorno
de uma superfície
vale
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e cálculo de rotacional.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
. Logo a integral de linha que aparece é
Passo 3
Pela hipótese,
é constante, então podemos aplicar o Teorema de Stokes:
Passo 4
Agora calculamos o rotacional de
. Usando a identidade vetorial
Passo 5
Como
e
Passo 6
Substituindo no Teorema de Stokes, obtemos
Resposta
2 \iint_{S} \mathbf{u} \cdot \mathbf{n} , dS