Dados vetores r=x i+y j+z k e P i+Q j+R k=u times r, onde u é um vetor constante, mostre que integralC P d x+Q d y+R d z=2 integralegral duplaS u cdot n d S, onde C=partial S e n é a normal à superfície S.

Passo 1

Resumo da questão: temos o vetor posição r=xi+yj+zk e definimos o campo vetorial F=Pi+Qj+Rk=utimesr, onde u é constante. Queremos mostrar que a integral de linha integralC P,dx+Q,dy+R,dz ao longo do contorno C=partial S de uma superfície S vale 2integral duplaSucdotn,dS. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e cálculo de rotacional.

Passo 2

Definimos o campo vetorial F(x,y,z)=utimesr. Logo a integral de linha que aparece é
ointC P,dx+Q,dy+R,dz=ointCFcdot dr,

Passo 3

Pela hipótese, u é constante, então podemos aplicar o Teorema de Stokes:
ointCFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,

Passo 4

Agora calculamos o rotacional de F=utimesr. Usando a identidade vetorial
nablatimes(atimesb)=a(nablacdotb)-b(nablacdota)+(bcdotnabla)a-(acdotnabla)b, com a=u (constante) e b=r, temos
nablatimes(utimesr)=u(nablacdotr)-(ucdotnabla)r

Passo 5

Como nablacdotr=partialx x+partialy y+partialz z=3 e
(ucdotnabla)r=uxpartialrpartial x+uypartialrpartial y+uzpartialrpartial z=uxi+uyj+uzk=u, segue-se que
nablatimesF=3u-u=2u

Passo 6

Substituindo no Teorema de Stokes, obtemos
ointCFcdot dr=integral duplaS(2u)cdotn,dS=2integral duplaSucdotn,dS, que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

2 \iint_{S} \mathbf{u} \cdot \mathbf{n} , dS

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