Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de 7 % ao ano, compostos continuamente. O governo retém 30 % do rendimento obtido, sob forma de impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar o dobro do montante inicial.
Quanto tempo o investidor deve esperar para retirar seu dinheiro do fundo?

Passo 1

O enunciado: um investidor aplica um capital inicial P num fundo que rende juros compostos continuamente a 7% ao ano, mas o governo retém 30% do rendimento sob forma de impostos. O objetivo é determinar o tempo t para que o montante líquido ultrapasse 2P. O conteúdo é capitalização contínua com retenção fiscal, e vamos precisar modelar a taxa líquida de crescimento.

Passo 2

Sem imposto, o montante ao tempo t seria dado por A = P e^r t onde r = 0,07. Como 30% do juro é retido, o investidor recebe apenas 70% do rendimento bruto, ou seja a taxa líquida é rlíq = r,(1 - 0,3) = 0,07 times 0,7 = 0,049í

Passo 3

Substituindo a taxa líquida na fórmula de capitalização contínua, temos:
A = P e^0,049,t
Queremos A = 2P, então:
P e^0,049,t = 2P
Dividindo por P e aplicando logaritmo natural:
e^0,049,t = 2 implies 0,049,t = ln 2 implies t = ln 20,049

Passo 4

Calculando numericamente, sabendo que ln 2 approx 0,6931:
t approx 0,69310,049 approx 14,14 anos

Resposta

O investidor deve aguardar aproximadamente 14,14 anos para que o montante líquido ultrapasse o dobro do capital inicial.

Exercícios relacionados