Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de
ao ano, compostos continuamente. O governo retém
do rendimento obtido, sob forma de impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar o dobro do montante inicial.
Quanto tempo o investidor deve esperar para retirar seu dinheiro do fundo?
Quanto tempo o investidor deve esperar para retirar seu dinheiro do fundo?
Passo 1
O enunciado: um investidor aplica um capital inicial
num fundo que rende juros compostos continuamente a
ao ano, mas o governo retém
do rendimento sob forma de impostos. O objetivo é determinar o tempo
para que o montante líquido ultrapasse
. O conteúdo é capitalização contínua com retenção fiscal, e vamos precisar modelar a taxa líquida de crescimento.
Passo 2
Sem imposto, o montante ao tempo
seria dado por
onde
. Como
do juro é retido, o investidor recebe apenas
do rendimento bruto, ou seja a taxa líquida é
Passo 3
Substituindo a taxa líquida na fórmula de capitalização contínua, temos:
Queremos
Dividindo por
e aplicando logaritmo natural:
Passo 4
Calculando numericamente, sabendo que
:
Resposta
O investidor deve aguardar aproximadamente 14,14 anos para que o montante líquido ultrapasse o dobro do capital inicial.