Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
com vetor normal apontando para fora de
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
. - A superfície
é a porção da superfície definida por
com
. Observando a equação, isso equivale a
ou seja, a porção do paraboloide
entre
e
.
- O enunciado pede o fluxo de
através de com o vetor normal apontando para fora de .
Informações geométricas úteis que já podemos notar (sem resolver ainda):
- A interseção com o plano
é o círculo (raio ). - A superfície
é a “lateral” do sólido limitado abaixo pelo paraboloide e acima pelo plano .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática do que vamos usar):
- Uma forma eficiente de calcular fluxos por superfícies que fazem parte da fronteira de um corpo é usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Esse teorema relaciona o fluxo através da superfície fechada que limita um volume
à integral tripla do divergente do campo sobre . - Aqui podemos fechar a superfície juntando
(o paraboloide) com o disco no plano (o “tampão” superior). Seja a fronteira orientada para fora do volume . - Pelo Teorema da Divergência:
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora do volume. Isso implica
Como alternativa direta, poderíamos parametrizar
e computar
diretamente, mas a aplicação do teorema costuma simplificar muito quando
é simples.
Passo 3
Calcular o divergente do campo (aula rápida sobre divergente):
- O divergente de um campo
é . - Aqui
, , . Então
- Calculando cada derivada:
- Portanto
Comentário didático: quando
no volume, a integral tripla é zero, o que simplifica muito a conta.
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência ao volume
:
- Como
em todo , tem-se
- Pelo passo 2, isso dá
ou seja
- Assim podemos calcular a contribuição do disco superior
(fácil) e obter a do paraboloide por diferença. Agora vamos calcular .
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
no plano
:
- O disco é
. - Para a superfície fechada
, a normal em que aponta para fora do volume é , porque o volume fica abaixo do plano . - O produto escalar
sobre é simplesmente a terceira componente de avaliada em :
- No disco
temos , logo (constante). - O fluxo através de
é então
- A área de
é a área do círculo de raio , ou seja . Portanto
Passo 6
Concluir o fluxo através de
:
- Usando
do passo 4 e o valor do passo 5,
- Interpretando o sinal: esse é o fluxo através do paraboloide
com a normal apontando para fora do volume (orientação pedida pelo enunciado).