Calcule o fluxo do campo vetorial F=(x+1, y,-2 z) através da superfície S dada por
z-x^{2}=y^{2}, 0 \leq z \leq 1
com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}=(x+1,y,-2z).
  • A superfície S é a porção da superfície definida por
z-x^{2}=y^{2}
com 0\le z\le 1. Observando a equação, isso equivale a
z=x^{2}+y^{2},
ou seja, a porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} entre z=0 e z=1.
  • O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F} através de S com o vetor normal apontando para fora de S.
Informações geométricas úteis que já podemos notar (sem resolver ainda):
  • A interseção com o plano z=1 é o círculo x^{2}+y^{2}=1 (raio 1).
  • A superfície S é a “lateral” do sólido V limitado abaixo pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e acima pelo plano z=1.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática do que vamos usar):
  • Uma forma eficiente de calcular fluxos por superfícies que fazem parte da fronteira de um corpo é usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Esse teorema relaciona o fluxo através da superfície fechada que limita um volume V à integral tripla do divergente do campo sobre V.
  • Aqui podemos fechar a superfície juntando S (o paraboloide) com o disco D no plano z=1 (o “tampão” superior). Seja \partial V = S \cup D a fronteira orientada para fora do volume V.
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora do volume. Isso implica
\text{Flux}(S)+\text{Flux}(D)=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Como alternativa direta, poderíamos parametrizar S e computar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS diretamente, mas a aplicação do teorema costuma simplificar muito quando \nabla\cdot\mathbf{F} é simples.

Passo 3

Calcular o divergente do campo (aula rápida sobre divergente):
  • O divergente de um campo \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) é \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}+\dfrac{\partial F_{3}}{\partial z}.
  • Aqui F_{1}=x+1, F_{2}=y, F_{3}=-2z. Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x+1)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(-2z).
  • Calculando cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(x+1)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(-2z)=-2.
  • Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=1+1-2=0.
Comentário didático: quando \nabla\cdot\mathbf{F}=0 no volume, a integral tripla é zero, o que simplifica muito a conta.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V:
  • Como \nabla\cdot\mathbf{F}=0 em todo V, tem-se
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=0.
  • Pelo passo 2, isso dá
\text{Flux}(S)+\text{Flux}(D)=0,
ou seja
\text{Flux}(S)=-\text{Flux}(D).
  • Assim podemos calcular a contribuição do disco superior D (fácil) e obter a do paraboloide S por diferença. Agora vamos calcular \text{Flux}(D).

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D no plano z=1:
  • O disco é D=\{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Para a superfície fechada \partial V, a normal em D que aponta para fora do volume V é \mathbf{n}=\mathbf{k}=(0,0,1), porque o volume fica abaixo do plano z=1.
  • O produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} sobre D é simplesmente a terceira componente de \mathbf{F} avaliada em z=1:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=F_{3}=-2z.
  • No disco z=1 temos z=1, logo \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=-2 (constante).
  • O fluxo através de D é então
\text{Flux}(D)=\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2)\,dS=-2\cdot\text{Area}(D).
  • A área de D é a área do círculo de raio 1, ou seja \pi\cdot 1^{2}=\pi. Portanto
\text{Flux}(D)=-2\pi.

Passo 6

Concluir o fluxo através de S:
  • Usando \text{Flux}(S)=-\text{Flux}(D) do passo 4 e o valor do passo 5,
\text{Flux}(S)=-(-2\pi)=2\pi.
  • Interpretando o sinal: esse é o fluxo através do paraboloide S com a normal apontando para fora do volume V (orientação pedida pelo enunciado).

Resposta

2\pi

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