(a) Seja C o círculo |z|=1. Prove que a transformação
g(z)=\frac{z-1}{z+1}
leva o semiplano direito
U=\{x+i y \in \mathbb{C} \mid x>0\}
no interior de C (isto é, no disco unitário).
(b) Seja f uma função inteira e seja L uma reta no plano complexo. Suponha que a imagem de f esteja inteiramente contida em um dos semiplanos determinados por L (isto é, todo f(z) fica de um mesmo lado de L ). Prove que f é constante.
(c) Reprove o resultado do exercício anterior (isto é, o fato de que u(x, y) é constante sob a hipótese de ser limitada superiormente) usando o item (b).
Passo 1
Vou separar claramente o que cada item pede e listar os dados importantes.
(a) Pede provar que a transformação
g(z)=\frac{z-1}{z+1}
leva o semiplano direito
U=\{x+iy\in\mathbb{C}\mid x>0\}
no disco unitário \{w\in\mathbb{C}\mid |w|<1\}. Ou seja, mostrar que, para todo z com \operatorname{Re}(z)>0, vale |g(z)|<1.
(b) Pede: seja f inteira e L uma reta no plano complexo; suponha que a imagem de f esteja inteiramente num mesmo semiplano determinado por L. Provar que f é constante.
(c) Pede reprovar o resultado anterior (que uma função harmônica inteira limitada superiormente é constante) usando o item (b). Dados úteis que usarei:
A desigualdade |w_1|<|w_2| é equivalente a |w_1|^2<|w_2|^2.
A identidade |x+iy|^2=x^2+y^2 e, para z=x+iy,|z+1|^2-|z-1|^2=4x.
Teorema de Liouville: toda função inteira e limitada é constante (vou lembrar e provar rapidamente).
Em domínios simplesmente conexos (como \mathbb{C}), uma função harmônica tem conjugada harmônica global, logo é parte real de uma função inteira.
A partir daqui eu começo as provas e dou as explicações passo a passo.
Passo 2
Prova do item (a): transformar a condição |g(z)|<1 em uma desigualdade em termos da parte real de z.
Começamos usando o fato útil de que |a/b|<1 é equivalente a |a|<|b| (quando b\neq 0). Portanto queremos provar
|z-1|<|z+1|.
Uma técnica padrão é elevar ao quadrado, porque assim ficamos com expressões reais:
|z-1|^2 < |z+1|^2.
Agora escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e calculamos explicitamente:
|z+1|^2=(x+1)^2+y^2,\qquad |z-1|^2=(x-1)^2+y^2.
Subtraindo obtemos
|z+1|^2-|z-1|^2=(x+1)^2-(x-1)^2=4x.
Portanto
|z-1|^2<|z+1|^2 \iff 4x>0 \iff x>0.
Isto mostra exatamente que \operatorname{Re}(z)=x>0 se e somente se |g(z)|<1. Logo g leva U no disco unitário interior. (Além disso, pela mesma conta vemos que a recta \operatorname{Re}(z)=0 é levada na circunferência |w|=1.)
Passo 3
Comentário adicional sobre (a) (útil para os itens seguintes): a transformação g é um caso simples de transformação linear-fractionária (Möbius). Uma propriedade prática é que g é bijetora do semiplano direito U sobre o disco unitário; explicitamente a inversa de g é fácil de calcular: se w=g(z) então
é bem definida e holomorfa em todo lugar onde 1-w\neq 0; em particular, g^{-1} leva o disco unitário no semiplano direito. Isso mostra que g é bijetora entre U e o disco unitário.
Passo 4
Preparação para (b): estratégia geral e construção de uma transformação que reduz o caso geral ao do item (a).
Ideia: dado um semiplano arbitrário determinado por uma reta L, existe uma transformação afim (rotação+translação) T que leva esse semiplano no semiplano direito U. Como explicado no Passo 3, g leva U no disco unitário. Então a composição
\varphi:=g\circ T
é uma função holomorfa definida no semiplano dado (pelo fato de T ser inteira e g holomorfa onde for necessário) que leva esse semiplano no disco unitário. Se a imagem de f está contida no semiplano original, então h:=\varphi\circ f é uma função inteira e com imagem contida no disco unitário, logo é limitada. Pelo Teorema de Liouville, h é constante; como \varphi é injetora no semiplano (é bijeção entre semiplano e disco unitário), segue que f é constante. A seguir eu executo cada passo com detalhes e justificações.
Passo 5
Construção explícita da afim T que envia o semiplano determinado por L para U.
Seja L a reta dada; podemos sempre escrever a condição de pertencer a um dos semiplanos gerados por L na forma
\operatorname{Re}\big(e^{-i\theta} w\big) > c
ou
\operatorname{Re}\big(e^{-i\theta} w\big) < c
para algum \theta\in\mathbb{R} e c\in\mathbb{R} (isto corresponde a rotacionar a reta para ficar vertical e deslocá-la). Escolho a versão em que a imagem de f fica em
(se estivesse na outra desigualdade, tomo o semiplano oposto; o argumento é análogo).
Defino então a transformação afim
T(w)=e^{-i\theta}\big(w-w_0\big),
onde w_0 é qualquer ponto de L (assim \operatorname{Re}(e^{-i\theta}w_0)=c). Verifiquemos o que T faz:
Para w\in L temos \operatorname{Re}(e^{-i\theta}w)=c, logo \operatorname{Re}(T(w))=0.
Para w\in H temos \operatorname{Re}(e^{-i\theta}w)>c, logo \operatorname{Re}(T(w))>0.
Portanto T leva H exatamente em U=\{z\mid \operatorname{Re}(z)>0\}. Note que T é inteira (polinomial de grau 1), sem singularidades.
Passo 6
Construção de \varphi e aplicação de Liouville.
Com T do passo anterior e g do item (a), defina
\varphi:=g\circ T.
Pelo Passo 2, g leva U no disco unitário; como T(H)=U, segue que \varphi(H) está contido no disco unitário. Suponha agora que f é inteira e f(\mathbb{C})\subset H. Então a composição
h:=\varphi\circ f = g\big(T(f(\cdot))\big)
é bem definida e holomorfa em todo \mathbb{C} (pois T é inteira e g é holomorfa em U\supset T(f(\mathbb{C}))). Além disso h(\mathbb{C}) está contido no disco unitário, logo h é uma função inteira limitada.
Lembrete/pequena prova do Teorema de Liouville (porque vou usá-lo): se h é inteira e |h(z)|\le M para todo z, então pelo fórmula integral de Cauchy para derivadas, para qualquer a\in\mathbb{C} e R>0,
Fazendo R\to\infty obtemos h'(a)=0. Como a era arbitrário, h'\equiv 0 e portanto h é constante. Isso é o enunciado de Liouville.
Aplicando Liouville, h é constante.
Passo 7
Concluir que f é constante a partir de h constante, usando invertibilidade de \varphi.
Pelo Passo 6 temos h=\varphi\circ f é constante, h\equiv w_0 para algum w_0 no disco unitário. Queremos deduzir que f é constante. Para isso usamos que \varphi é bijetora do semiplano H para o disco unitário: T é bijetora do semiplano original para U e g é bijetora de U para o disco unitário (ver Passo 3 para a inversa explícita de g). Assim \varphi tem inversa bem definida e holomorfa \varphi^{-1} sobre o disco unitário. Como h=\varphi\circ f\equiv w_0, aplicando \varphi^{-1} obtemos f\equiv \varphi^{-1}(w_0), constante. Isso prova o item (b).
Observação: se a imagem de f estiver numa semirreta ou tocar a reta L na fronteira, a construção ainda funciona: podemos escolher T de modo que a fronteira vá para \operatorname{Re}(z)=0 e g leva essa fronteira na circunferência |w|=1 (sem polos aí), então h ainda é limitada e inteira, e Liouville vale do mesmo modo.
Passo 8
Prova do item (c) usando (b): recolocando o enunciado clássico e aplicando o que já provamos.
Enunciado (c) em palavras: se u(x,y) é uma função harmônica em \mathbb{R}^2 (isto é, definida em todo o plano) e u é limitada superiormente (existe M tal que u(x,y)\le M para todos x,y), então u é constante.
Argumento: como \mathbb{C} é simplesmente conexo, uma função harmônica inteira u tem uma conjugada harmônica global v tal que
f(z):=u(x,y)+i v(x,y)
é uma função holomorfa (de fato inteira) em \mathbb{C}. Agora, pela hipótese u\le M em todo o plano, a imagem f(\mathbb{C}) está contida no semiplano
\{w\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}(w)\le M\},
ou seja, toda a imagem de f fica em um mesmo lado da reta \operatorname{Re}(w)=M. Aplicando o item (b) (substituindo “semiplano” por este semiplano), concluímos que f é constante. Logo a parte real u é constante. Isso completa a prova do item (c).
Resposta
(a) g(U)=\{w\in\mathbb{C}\mid |w|<1\}.\n
(b) f é constante.\n
(c) u é constante.