Seja
um polinômio não constante e seja
uma raiz de
.
(a) Prove que, para qualquer inteiro
,
(b) Usando o item (a), prove que existe um polinômio
tal que
(a) Prove que, para qualquer inteiro
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que se pede:
- Foi dado um polinômio não constante
. - Foi dado um número complexo
que é raiz de ; isto é, . - Pergunta (a): provar que, para todo inteiro
,
- Pergunta (b): usando (a), provar que existe um polinômio
tal que
Informações relevantes que teremos de usar:
- Um polinômio
pode ser escrito como soma finita de potências com coeficientes complexos. - A identidade pedida em (a) é uma fatoração clássica da diferença de potências; vamos prová-la de forma elementar e depois aplicá‑la termo a termo para o polinômio em (b).
Passo 2
Prova direta da identidade em (a) por multiplicação e cancelamento (telescópica).
Considere o lado direito
Multiplicando
por
e expandindo, obtemos
Aqui reindexamos os termos com
variando de
a
; cada somando é
Passo 3
Mostrar o cancelamento telescópico explicitamente.
Escrevendo alguns termos da soma acima:
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam em pares:
cancela com
do termo seguinte, e assim por diante. Ficam apenas os extremos não cancelados:
Isso provê a identidade pedida para todo inteiro
:
Passo 4
Comentário curto (intuição): a soma à direita é exatamente o quociente
visto como polinômio em
. A prova por telescópico mostra que o produto com
recupera
, portanto a igualdade vale como identidade polinomial para todas as
.
Passo 5
Começando a resolver (b): escrever
em termos das suas potências.
Seja
. Escrevemos
onde cada
e
. Então
Note que para
temos
, logo o termo
é nulo e a soma efetiva começa em
.
Passo 6
Aplicar a identidade de (a) a cada termo
com
.
Pelo item (a), para cada
vale
Substituindo isso em cada somando de
e fatorando
, obtemos
Passo 7
Definir
explicitamente e concluir que é polinômio.
Definimos
Cada soma interna é um polinômio em
de grau
; como a soma externa é finita,
é de fato um polinômio em
. Assim temos a fatoração desejada
Além disso, como
é não constante,
. E, no caso particular em que
é raiz de
, isto é
, a identidade acima dá
mostrando que
divide
.
Resposta
(a)
(b)
, com
, onde
.