Seja p(z) \in \mathbb{C}[z] um polinômio não constante e seja c uma raiz de p(z).
(a) Prove que, para qualquer inteiro k \geq 1,
z^{k}-c^{k}=(z-c)\left(z^{k-1}+z^{k-2} c+\cdots+z c^{k-2}+c^{k-1}\right) .
(b) Usando o item (a), prove que existe um polinômio q(z) tal que
p(z)-p\text{(c)}=(z-c) q(z)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que se pede:
  • Foi dado um polinômio não constante p(z)\in\mathbb{C}[z].
  • Foi dado um número complexo c que é raiz de p; isto é, p\text{(c)}=0.
  • Pergunta (a): provar que, para todo inteiro k\ge 1,
z^{k}-c^{k}=(z-c)\left(z^{k-1}+z^{k-2} c+\cdots+z c^{k-2}+c^{k-1}\right).
  • Pergunta (b): usando (a), provar que existe um polinômio q(z) tal que
p(z)-p\text{(c)}=(z-c)q(z).
Informações relevantes que teremos de usar:
  • Um polinômio p(z) pode ser escrito como soma finita de potências z^n com coeficientes complexos.
  • A identidade pedida em (a) é uma fatoração clássica da diferença de potências; vamos prová-la de forma elementar e depois aplicá‑la termo a termo para o polinômio em (b).

Passo 2

Prova direta da identidade em (a) por multiplicação e cancelamento (telescópica).
Considere o lado direito
S(z)=\left(z^{k-1}+z^{k-2}c+\cdots+z c^{k-2}+c^{k-1}\right).
Multiplicando S(z) por (z-c) e expandindo, obtemos
(z-c)S(z)=\sum_{j=0}^{k-1}\bigl(z\cdot z^{k-1-j}c^{j}-c\cdot z^{k-1-j}c^{j}\bigr).
Aqui reindexamos os termos com j variando de 0 a k-1; cada somando é
z^{k-j}c^{j}-z^{k-1-j}c^{j+1}.

Passo 3

Mostrar o cancelamento telescópico explicitamente.
Escrevendo alguns termos da soma acima:
\begin{aligned} (z-c)S(z) &= \bigl(z^{k}c^{0}-z^{k-1}c^{1}\bigr) + \bigl(z^{k-1}c^{1}-z^{k-2}c^{2}\bigr) \\\ &\quad + \bigl(z^{k-2}c^{2}-z^{k-3}c^{3}\bigr)+\cdots + \bigl(z^{1}c^{k-1}-z^{0}c^{k}\bigr). \end{aligned}
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam em pares: -z^{k-1}c^{1} cancela com +z^{k-1}c^{1} do termo seguinte, e assim por diante. Ficam apenas os extremos não cancelados:
(z-c)S(z)=z^{k}-c^{k}.
Isso provê a identidade pedida para todo inteiro k\ge 1:
z^{k}-c^{k}=(z-c)\left(z^{k-1}+z^{k-2} c+\cdots+z c^{k-2}+c^{k-1}\right).

Passo 4

Comentário curto (intuição): a soma à direita é exatamente o quociente \dfrac{z^{k}-c^{k}}{z-c} visto como polinômio em z. A prova por telescópico mostra que o produto com (z-c) recupera z^{k}-c^{k}, portanto a igualdade vale como identidade polinomial para todas as z.

Passo 5

Começando a resolver (b): escrever p(z) em termos das suas potências.
Seja \deg p=N\ge 1. Escrevemos
p(z)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} z^{n},
onde cada a_{n}\in\mathbb{C} e a_{N}\neq 0. Então
p(z)-p\text{(c)}=\sum_{n=0}^{N} a_{n}\bigl(z^{n}-c^{n}\bigr).
Note que para n=0 temos z^{0}-c^{0}=1-1=0, logo o termo n=0 é nulo e a soma efetiva começa em n=1.

Passo 6

Aplicar a identidade de (a) a cada termo z^{n}-c^{n} com n\ge 1.
Pelo item (a), para cada n\ge 1 vale
z^{n}-c^{n}=(z-c)\left(z^{n-1}+z^{n-2}c+\cdots+zc^{n-2}+c^{n-1}\right).
Substituindo isso em cada somando de p(z)-p\text{(c)} e fatorando (z-c), obtemos
\begin{aligned} p(z)-p\text{(c)} &= \sum_{n=1}^{N} a_{n}(z^{n}-c^{n}) \\\ &= (z-c)\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(z^{n-1}+z^{n-2}c+\cdots+c^{n-1}\right). \end{aligned}

Passo 7

Definir q(z) explicitamente e concluir que é polinômio.
Definimos
q(z)=\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(z^{n-1}+z^{n-2}c+\cdots+c^{n-1}\right).
Cada soma interna é um polinômio em z de grau n-1; como a soma externa é finita, q(z) é de fato um polinômio em \mathbb{C}[z]. Assim temos a fatoração desejada
p(z)-p\text{(c)}=(z-c)q(z).
Além disso, como p é não constante, \deg q\le N-1. E, no caso particular em que c é raiz de p, isto é p\text{(c)}=0, a identidade acima dá
p(z)=(z-c)q(z),
mostrando que (z-c) divide p(z).

Resposta

(a) \;z^{k}-c^{k}=(z-c)\left(z^{k-1}+z^{k-2} c+\cdots+z c^{k-2}+c^{k-1}\right)
(b) \;p(z)-p\text{(c)}=(z-c)q(z), com \displaystyle q(z)=\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(z^{n-1}+z^{n-2}c+\cdots+c^{n-1}\right), onde p(z)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}z^{n}.

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