Calcule o fluxo do campo vetorial G(x, y, z) através da superfície S no sentido dado:
G(x, y, z)=(z^2, x,-3 z) para fora ( normal para fora do eixo x ) através da superfície cortada do cilindro parabólico z=4-y^2 pelos planos x=0, x=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial G(x,y,z)=(z^2,x,-3z) através da superfície S dada pelo cilindro parabólico
z = 4 - y^2,
com 0<= x<=1 e -2<= y<=2, orientada para fora do eixo x. Vamos usar parametrização da superfície e calcular
integral dupla SGcdot n,dS.

Passo 2

Parametrizamos S por
Phi(x,y) = (,x,;y,;4 - y^2,),
com (x,y)in D=[0,1]times[-2,2].
Os vetores tangentes são
partialPhipartial x=(1,0,0), partialPhipartial y=(0,1,-2y)
O vetor normal (não unitário) compatível com a orientação para fora do eixo x é
partialPhipartial xtimespartialPhipartial y =(0,,2y,,1)

Passo 3

Substituímos na integral de superfície:
Gl(Phi(x,y)r) =l((4-y^2)^2,;x,;-3(4-y^2)r) =(16-8y^2+y^4,;x,;-12+3y^2)
O produto escalar com o normal é
Gcdotl(partialxPhitimespartialyPhir) =2xy + (3y^2-12)
Portanto
integral dupla SGcdot n,dS =integral0^1!integral-2^2l(2xy+3y^2-12r),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro em y:
integral-2^22xy,dy = 0, integral-2^23y^2,dy = 3cdot2cdot2^33=16, integral-2^2-12,dy = -12cdot4=-48
Logo a integral interna é 16-48=-32. Integrando em x de 0 a 1:
integral0^1(-32),dx = -32

Resposta

O fluxo do campo G através de S orientada para fora do eixo x é -32.

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