Calcule o fluxo do campo vetorial G(x, y, z) através da superfície S no sentido dado:
G(x, y, z)=(3 z,-4, y) onde a normal unitaria apontando para cima da superfície x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral dupla SGcdot n,dS
do campo vetorial
G(x,y,z)=(3z,,-4,,y)
através da face do plano
x+y+z=1
no primeiro octante, com a normal unitária apontando para cima.
Para resolver, vamos parametrizar a superfície como gráfico de
z=1-x-y
e usar a fórmula do fluxo para superfícies do tipo z=g(x,y) com orientação para cima.

Passo 2

Escrevemos
Phi =integral dupla SGcdot n,dS =integral duplaDl(-P,gx -Q,gy +Rr),dA,
onde G=(P,Q,R), g(x,y)=1-x-y, gx=-1, gy=-1 e
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1

Passo 3

Aqui P=3z, Q=-4, R=y e z=1-x-y. Logo o integrando fica
-,P,gx -Q,gy +R = -3zcdot(-1) -(-4)cdot(-1) + y =3z -4 +y =3(1-x-y)-4+y =-1-3x-2y

Passo 4

Agora integramos em D:
Phi =integraly=0^1integralx=0^1-y(-1-3x-2y),dx,dy
O cálculo interno dá
integral0^1-y(-1-3x-2y),dx =-,(1-y)-tfrac32(1-y)^2-2y(1-y) =-tfrac52+2y+tfrac12y^2
Em seguida,
Phi =integral0^1l(-tfrac52+2y+tfrac12y^2r)dy =l[-tfrac52y+y^2+tfrac16y^3r]0^1 =-tfrac43

Resposta

O fluxo do campo G através de S com a normal apontando para cima é
boxed-tfrac43

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