Calcule o fluxo do campo vetorial integralegral duplaS(F n) d S onde
F=lang<= 3 x cos ^2 z+2 x z, z^5+3 y sen^2 z, 1-z^2rang<=
através da superfície do sólido de E delimitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície do sólido E, que é a região entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 3, ambas centradas na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência, que nos ajuda a transformar o cálculo de fluxo sobre uma superfície fechada em uma integral de volume. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de F e então integrar essa divergência sobre o volume E.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo está “passando” pela superfície. Matematicamente, é representado por integral duplaS (F cdot n) dS, onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o teorema da divergência. Esse teorema nos diz que:
integral duplaS (F cdot n) dS = integral triplaE (nabla cdot F) dV
Ou seja, o fluxo através da superfície S é igual à integral de volume da divergência de F sobre o sólido E.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = lang<= Fx, Fy, Fz rang<=. Então, para a nossa F:
Fx = 3x cos^2 z + 2xz Fy = z^5 + 3y sin^2 z Fz = 1 - z^2

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para Fx em relação a x:
partial Fxpartial x = partialpartial x(3x cos^2 z + 2xz) = 3 cos^2 z + 2z
  1. Para Fy em relação a y:
partial Fypartial y = partialpartial y(z^5 + 3y sin^2 z) = 3 sin^2 z
  1. Para Fz em relação a z:
partial Fzpartial z = partialpartial z(1 - z^2) = -2z

Passo 6

Agora, somando essas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot F = 3 cos^2 z + 2z + 3 sin^2 z - 2z = 3 cos^2 z + 3 sin^2 z

Passo 7

Observamos que 3 cos^2 z + 3 sin^2 z = 3(cos^2 z + sin^2 z) = 3(1) = 3, já que cos^2 z + sin^2 z = 1.

Passo 8

Portanto, a divergência de F é constante e igual a 3. Agora, precisamos integrar essa constante sobre o volume E entre as duas esferas de raio 1 e 3.

Passo 9

Para calcular a integral de volume, usamos coordenadas esféricas, pois é mais fácil para esferas. O volume entre duas esferas é dado por:
integral triplaE dV = 43 pi (Rmaior^3 - Rmenor^3)
Aqui, Rmaior = 3 e Rmenor = 1.

Passo 10

Calculando o volume:
V = 43 pi (3^3 - 1^3) = 43 pi (27 - 1) = 43 pi (26) = 1043 pi

Passo 11

Agora, multiplicamos a divergência pelo volume para obter o fluxo:
Fluxo = nabla cdot F times V = 3 times 1043 pi = 104 pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície do sólido E é igual a 104 pi.

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