Calcule o fluxo do campo vetorial
onde
através da superfície do sólido de
delimitado pelas esferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície do sólido
, que é a região entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 3, ambas centradas na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência, que nos ajuda a transformar o cálculo de fluxo sobre uma superfície fechada em uma integral de volume. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de
e então integrar essa divergência sobre o volume
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo está “passando” pela superfície. Matematicamente, é representado por
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o teorema da divergência. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, o fluxo através da superfície
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o sólido
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
. Então, para a nossa
:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
em relação a :
- Para
em relação a :
- Para
em relação a :
Passo 6
Agora, somando essas derivadas para obter a divergência:
Passo 7
Observamos que
, já que
.
Passo 8
Portanto, a divergência de
é constante e igual a 3. Agora, precisamos integrar essa constante sobre o volume
entre as duas esferas de raio 1 e 3.
Passo 9
Para calcular a integral de volume, usamos coordenadas esféricas, pois é mais fácil para esferas. O volume entre duas esferas é dado por:
Aqui,
e
.
Passo 10
Calculando o volume:
Passo 11
Agora, multiplicamos a divergência pelo volume para obter o fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície do sólido
é igual a
.