Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar (a) o rotacional e (b) o divergente de um campo vetorial específico. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar das fórmulas do rotacional e do divergente, além de saber como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional, também conhecido como curl, é uma medida de quão “giro” o campo tem em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada termo necessário para o rotacional:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto. A fórmula do divergente em coordenadas cartesianas é:
Passo 6
Vamos calcular cada derivada parcial:
Usando a regra da cadeia para a última derivada:
Então:
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter o divergente:
Resposta
(a) O rotacional de
é:
(b) O divergente de
é: