Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=e^y sin (z) j+y tan ^-1(x / z) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar (a) o rotacional e (b) o divergente de um campo vetorial específico. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar das fórmulas do rotacional e do divergente, além de saber como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = e^y sin(z) j + y tan^-1(xz) k. O rotacional, também conhecido como curl, é uma medida de quão “giro” o campo tem em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
rot , F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo F:
Fx = 0, Fy = e^y sin(z), Fz = y tan^-1(xz)
Agora, vamos calcular cada termo necessário para o rotacional:
  1. Para a componente i:
partial Fzpartial y = tan^-1(xz)
partial Fypartial z = e^y cos(z)
  1. Para a componente j:
partial Fxpartial z = 0
partial Fzpartial x = y cdot partialpartial x tan^-1(xz) = y cdot zx^2 + z^2
  1. Para a componente k:
partial Fypartial x = 0
partial Fxpartial y = 0

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do rotacional:
rot , F = ( tan^-1(xz) - e^y cos(z) ) i + ( 0 - y cdot zx^2 + z^2 ) j + ( 0 - 0 ) k
Simplificando:
rot , F = ( tan^-1(xz) - e^y cos(z) ) i - y zx^2 + z^2 j

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial F. O divergente mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto. A fórmula do divergente em coordenadas cartesianas é:
div , F = nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 6

Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = 0
partial Fypartial y = partialpartial y ( e^y sin(z) ) = e^y sin(z)
partial Fzpartial z = partialpartial z ( y tan^-1(xz) ) = y cdot partialpartial z tan^-1(xz)
Usando a regra da cadeia para a última derivada:
partialpartial z tan^-1(xz) = -xx^2 + z^2
Então:
partial Fzpartial z = - y xx^2 + z^2

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais para obter o divergente:
div , F = 0 + e^y sin(z) - y xx^2 + z^2 = e^y sin(z) - y xx^2 + z^2

Resposta

(a) O rotacional de F é:
rot , F = ( tan^-1(xz) - e^y cos(z) ) i - y zx^2 + z^2 j
(b) O divergente de F é:
div , F = e^y sin(z) - y xx^2 + z^2

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