Seja
F=lang<= 2+z^2, x^3+ln (11+y^4), 2 x z+arctg(z^2+1)rang<=
Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com plano x+2 y=4 orientado no sentido positivo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial:
F=lang<= 2+z^2, x^3+ln (11+y^4), 2 x z+arctg(z^2+1)rang<=
E queremos calcular a integral de linha:
integralC F cdot d r
onde $ C $ é a curva formada pela interseção do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ com o plano $ x+2 y=4 $, orientada no sentido positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva $ C $, e aplicar o cálculo adequado passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva $ C $. Ela é a interseção entre o cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ e o plano $ x+2 y=4 $. Para encontrar essa curva, vamos resolver as duas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos expressar $ x $ em função de $ y $ a partir do plano:
x
Agora, substituímos isso na equação do cilindro:
y

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática para $ y $:
y
Calculando o discriminante:
5y^2 - 16y + 15 = 0
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais. Isso significa que não há interseção real entre o cilindro e o plano dado. Portanto, a curva $ C $ não existe no espaço real.

Passo 5

Dado que a curva $ C $ não existe, a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ também não pode ser calculada, pois não há trajetória sobre a qual integrar.

Resposta

Não existe uma curva $ C $ real formada pela interseção do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ com o plano $ x+2 y=4 $. Portanto, a integral $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ é igual a zero.

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