Seja
Calcule a integral
, onde
é a interseção do cilindro
com plano
orientado no sentido positivo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial:
E queremos calcular a integral de linha:
onde $ C $ é a curva formada pela interseção do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ com o plano $ x+2 y=4 $, orientada no sentido positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é integral de linha, como parametrizar a curva $ C $, e aplicar o cálculo adequado passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva $ C $. Ela é a interseção entre o cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ e o plano $ x+2 y=4 $. Para encontrar essa curva, vamos resolver as duas equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos expressar $ x $ em função de $ y $ a partir do plano:
Agora, substituímos isso na equação do cilindro:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática para $ y $:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais. Isso significa que não há interseção real entre o cilindro e o plano dado. Portanto, a curva $ C $ não existe no espaço real.
Passo 5
Dado que a curva $ C $ não existe, a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ também não pode ser calculada, pois não há trajetória sobre a qual integrar.
Resposta
Não existe uma curva $ C $ real formada pela interseção do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ com o plano $ x+2 y=4 $. Portanto, a integral $ \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} $ é igual a zero.