Encontre a raiz das funções no intervalo solicitado usando o método de Newton Alternativo. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=e^{\sin(x-3)}−1 no intervalo [−1,0] usando o método de Newton (alternativo) com critério de erro relativo ε=0.01. Vamos precisar do conceito de método de Newton: dada x_n, a próxima iteração é x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f′(x_n).
Passo 2
Primeiro, calculo a derivada de f: f(x)=e^{\sin(x−3)}−1, então
Passo 3
Escolho como chute inicial x_0=−1 (perto da extremidade do intervalo) e calculo f(x_0) e f′(x_0):
Passo 4
Iteração 1:
Verifico o erro relativo |x_1−x_0|/|x_1| ≈ |−0.1881+1|/0.1881 ≈ 4.31 > 0.01, continuo.
Passo 5
Calculo agora f(x_1) e f′(x_1):
Passo 6
Iteração 2:
Erro relativo |x_2−x_1|/|x_2| ≈ |−0.1426+0.1881|/0.1426 ≈ 0.319 > 0.01, continuo.
Passo 7
Calculo f(x_2) e f′(x_2):
Passo 8
Iteração 3:
Erro relativo |x_3−x_2|/|x_3| ≈ |−0.1436+0.1426|/0.1436 ≈ 0.00696 < 0.01, atingimos o critério.
Resposta
A raiz aproximada é x ≈ -0.1436.