Encontre a raiz das funções no intervalo solicitado usando o método de Newton Alternativo. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
ll-1 & 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=e^{\sin(x-3)}−1 no intervalo [−1,0] usando o método de Newton (alternativo) com critério de erro relativo ε=0.01. Vamos precisar do conceito de método de Newton: dada x_n, a próxima iteração é x_{n+1}=x_n−f(x_n)/f′(x_n).

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada de f: f(x)=e^{\sin(x−3)}−1, então
f'(x)=e^sin(x-3)cdotcos(x-3)

Passo 3

Escolho como chute inicial x_0=−1 (perto da extremidade do intervalo) e calculo f(x_0) e f′(x_0):
sin(-1-3)=sin(-4)approx0.7568, f(-1)=e^0.7568-1approx2.1313-1=1.1313,
f'(-1)=e^0.7568cos(-4)approx2.1313times(-0.6536)=−1.3932

Passo 4

Iteração 1:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = -1 - 1.1313-1.3932 approx -1 + 0.8119 = -0.1881
Verifico o erro relativo |x_1−x_0|/|x_1| ≈ |−0.1881+1|/0.1881 ≈ 4.31 > 0.01, continuo.

Passo 5

Calculo agora f(x_1) e f′(x_1):
sin(-0.1881-3)=sin(-3.1881)approx0.0465, f(-0.1881)=e^0.0465-1approx0.0476,
f'(-0.1881)=e^0.0465cos(-3.1881)approx1.0476times(-0.9989)=−1.0465

Passo 6

Iteração 2:
x2 = -0.1881 - 0.0476-1.0465 approx -0.1881 + 0.0455 = -0.1426
Erro relativo |x_2−x_1|/|x_2| ≈ |−0.1426+0.1881|/0.1426 ≈ 0.319 > 0.01, continuo.

Passo 7

Calculo f(x_2) e f′(x_2):
sin(-0.1426-3)=sin(-3.1426)approx-0.00099, f(-0.1426)=e^-0.00099-1approx-0.00099,
f'(-0.1426)=e^-0.00099cos(-3.1426)approx0.99901times(-0.9999995)=−0.99901

Passo 8

Iteração 3:
x3 = -0.1426 - -0.00099-0.99901 approx -0.1426 - 0.00099 = -0.1436
Erro relativo |x_3−x_2|/|x_3| ≈ |−0.1436+0.1426|/0.1436 ≈ 0.00696 < 0.01, atingimos o critério.

Resposta

A raiz aproximada é x ≈ -0.1436.

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