(a) Sejam
uma superfície,
o bordo (ou fronteira) de
orientado no sentido da normal
de
. Considere um campo vetorial
em
e suponha que
,
,
e
estejam nas condições do Teorema de Stokes. Use o Teorema de Stokes e mostre que, se
for uma outra superfície com mesmo bordo de
e se
for normal a
tal que a orientação de
não se altera, então vale
(b) Considere o campo vetorial
e seja
a casca esférica
, com
. Use o item (a) convenientemente para calcular o fluxo do rotacional de
na direção da normal, orientada de tal forma que sua componente
seja positiva nos pontos em que
. (resp.:
.)
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que diz que para uma superfície
com bordo
orientado segundo a normal
temos
Queremos mostrar que, se
é outra superfície com o mesmo bordo
e normal
compatível com a orientação de
, então
Passo 2
Considere a superfície fechada obtida ao colar
e
(onde
é
com orientação invertida). O bordo dessa superfície fechada é vazio, logo pelo Teorema de Stokes aplicado a ela:
Mas o bordo é vazio, então o primeiro integral é zero, e o segundo se divide em
Como , segue
Passo 3
Para o item (b),
é o hemisfério
,
, com normal de componente
(isto faz com que, visto de cima, o bordo seja percorrido no sentido anti-horário). Escolhemos
como o disco plano
,
, com normal
. Pelo item (a), o fluxo de em
é igual ao fluxo em
.
Passo 4
No disco
temos
e
, então só interessa a componente
de . Para
o terceiro componente do rotacional é
Logo em
,
Passo 5
O fluxo em
é