(a) Sejam S uma superfície, partial S o bordo (ou fronteira) de S orientado no sentido da normal n de S. Considere um campo vetorial F em R^3 e suponha que S, partial S, n e F estejam nas condições do Teorema de Stokes. Use o Teorema de Stokes e mostre que, se S1 for uma outra superfície com mesmo bordo de S e se n1 for normal a S1 tal que a orientação de partial S não se altera, então vale
integral duplaS(rot F cdot n) d S=integral duplaS1(rot F cdot n1) d S
(b) Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(cos (x z)+sen(e^x), x+e^sen y, e^x^2+y)
e seja S a casca esférica x^2+y^2+z^2=1, com z >= 0. Use o item (a) convenientemente para calcular o fluxo do rotacional de F na direção da normal, orientada de tal forma que sua componente z seja positiva nos pontos em que z>0. (resp.: pi.)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que diz que para uma superfície com bordo orientado segundo a normal temos
Queremos mostrar que, se é outra superfície com o mesmo bordo e normal compatível com a orientação de , então

Passo 2

Considere a superfície fechada obtida ao colar e (onde é com orientação invertida). O bordo dessa superfície fechada é vazio, logo pelo Teorema de Stokes aplicado a ela:
Mas o bordo é vazio, então o primeiro integral é zero, e o segundo se divide em
Como , segue

Passo 3

Para o item (b), é o hemisfério , , com normal de componente (isto faz com que, visto de cima, o bordo seja percorrido no sentido anti-horário). Escolhemos como o disco plano , , com normal . Pelo item (a), o fluxo de em é igual ao fluxo em .

Passo 4

No disco temos e , então só interessa a componente de . Para
o terceiro componente do rotacional é
Logo em ,

Passo 5

O fluxo em é

Resposta

pi

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