38(x^2+y^2-5) d x=(y+x y) d y, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
38l(x^2+y^2-5r),dx ;=;l(y + x,yr),dy,
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo aqui é resolver uma equação de primeira ordem na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
procurando um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=38l(x^2+y^2-5r), N(x,y)= -l(y + x,yr)=-y,(1+x)
Calculamos
partial Mpartial y =76,y, partial Npartial x =-y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. Vemos que
partial M/partial y - partial N/partial xN =76,y -(-y)-y,(1+x) =77,y-y,(1+x) =-771+x,
Logo
mu(x) =expl(integral -tfrac771+x,dxr) =(1+x)^-77

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
tilde M,dx + tilde N,dy=0, tilde M=38l(x^2+y^2-5r)(1+x)^-77, tilde N=-y,(1+x)^-76,
que agora é exata. Buscamos Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x =tilde M, partialPhipartial y =tilde N
Integrando tilde M em x (mantendo y fixo) e ajustando uma função de y, chega-se à solução implícita
-1937(1+x)^-74 +7675(1+x)^-75 -12l(y^2-4r)(1+x)^-76 =C

Passo 5

Impondo y(0)=1, temos 1+x=1 e y^2-4=1-4=-3, portanto
-1937 +7675 -12(-3) =C ;Longrightarrow; C=-tfrac1937+tfrac7675+tfrac32

Resposta

A solução implícita satisfaz
-1937(1+x)^-74 +7675(1+x)^-75 -12l(y^2-4r)(1+x)^-76 =-1937+7675+32,
onde o lado direito vem de y(0)=1.

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