Calcule o fluxo de
através de
, isto é,
, em que:
é a esfera centrada na origem e raio
com orientação para fora.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de
através da superfície
, que é a esfera de raio
centrada na origem, com orientação para fora. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e podemos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.
Passo 2
O Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que o fluxo de
pela superfície fechada
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
limitado por
:
Passo 3
Precisamos então calcular o divergente de
. Por definição, para
temos
Aqui
,
e
, logo
Passo 4
Com o divergente constante igual a 1, o Teorema da Divergência reduz-se ao cálculo do volume da esfera de raio
:
Passo 5
Portanto, o fluxo de
através de
é