Calcule o fluxo de F através de S, isto é, integralegral duplaS F cdot n d S, em que:
F(x, y, z)=(0,0, z) ; S é a esfera centrada na origem e raio R com orientação para fora.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de vec F(x,y,z) = (0,0,z) através da superfície S, que é a esfera de raio R centrada na origem, com orientação para fora. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e podemos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.

Passo 2

O Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que o fluxo de vec F pela superfície fechada S é igual à integral do divergente de vec F sobre o volume V limitado por S:
integral duplaS vec F cdot vec n,dS = integral triplaV (nablacdotvec F),dV

Passo 3

Precisamos então calcular o divergente de vec F. Por definição, para vec F = (F1,F2,F3) temos
nablacdotvec F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Aqui F1=0, F2=0 e F3=z, logo
nablacdotvec F = 0 + 0 + partial (z)partial z = 1

Passo 4

Com o divergente constante igual a 1, o Teorema da Divergência reduz-se ao cálculo do volume da esfera de raio R:
integral triplaV 1,dV = Vol(V) = 43pi R^3

Passo 5

Portanto, o fluxo de vec F através de S é
integral duplaS vec Fcdotvec n,dS = 43pi R^3

Resposta

43pi R^3

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