Calcule integralegral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=x+y+z e S parametrizada por sigma(u, v)=(u, v, u+2 v), em que 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1.

Passo 1

A gente quer calcular ∬_S f
ds, onde f(x,y,z)=x+y+z e S vem dada por σ(u,v)=(u,v,u+2v) no quadrado 0≤u≤1, 0≤v≤1. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar: usamos a fórmula ∬_S f
ds=∫∫_D f(σ(u,v))·∥σ_u×σ_v∥
du
dv.

Passo 2

Precisamos achar as derivadas parciais de σ. Calculamos σ_u e σ_v:
σu(u,v)=(1,0,1)
σv(u,v)=(0,1,2)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial σ_u×σ_v e tiramos a norma. O produto é:
σu×σv=(1,0,1)×(0,1,2)=(-1,-2,1)
A norma desse vetor é √((-1)2+(-2)2+1^2)=√6. Com isso, ∥σ_u×σ_v∥=√6. Agora compomos f com σ e montamos a integral. Temos f(σ(u,v))=u+v+(u+2v)=2u+3v, logo:
integral duplaS f,dS=integral0^1integral0^1 (2u+3v)·√6,du,dv

Passo 4

Como √6 é constante,
√6integral0^1integral0^1(2u+3v),du,dv
A gente integra em u primeiro: ∫_01(2u+3v)du=[u2+3v·u]_0^1=1+3v. Depois em v: ∫_01(1+3v)dv=[v+\tfrac32v2]_0^1=1+3/2=5/2. Multiplicando por √6 dá 5√6/2.

Resposta

5raiz62

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