Calcule
, em que:
e
parametrizada por
, em que
e
.
Passo 1
A gente quer calcular ∬_S f
ds, onde f(x,y,z)=x+y+z e S vem dada por σ(u,v)=(u,v,u+2v) no quadrado 0≤u≤1, 0≤v≤1. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar: usamos a fórmula ∬_S f
ds=∫∫_D f(σ(u,v))·∥σ_u×σ_v∥
du
dv.
ds, onde f(x,y,z)=x+y+z e S vem dada por σ(u,v)=(u,v,u+2v) no quadrado 0≤u≤1, 0≤v≤1. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar: usamos a fórmula ∬_S f
ds=∫∫_D f(σ(u,v))·∥σ_u×σ_v∥
du
dv.
Passo 2
Precisamos achar as derivadas parciais de σ. Calculamos σ_u e σ_v:
Passo 3
Agora fazemos o produto vetorial σ_u×σ_v e tiramos a norma. O produto é:
A norma desse vetor é √((-1)2+(-2)2+1^2)=√6. Com isso, ∥σ_u×σ_v∥=√6. Agora compomos f com σ e montamos a integral. Temos f(σ(u,v))=u+v+(u+2v)=2u+3v, logo:
Passo 4
Como √6 é constante,
A gente integra em u primeiro: ∫_01(2u+3v)du=[u2+3v·u]_0^1=1+3v. Depois em v: ∫_01(1+3v)dv=[v+\tfrac32v2]_0^1=1+3/2=5/2. Multiplicando por √6 dá 5√6/2.