Determinar o valor mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vértices
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y + 3 $ dentro de uma região específica, que é um triângulo com vértices nos pontos $ (0,3) $, $ (3,0) $ e $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde procurar esse mínimo. Ele pode estar em dois lugares:
- Dentro da região do triângulo: Para isso, a gente procura pontos críticos onde as derivadas parciais da função são zero.
- Nas bordas do triângulo: Aqui, vamos analisar cada lado separadamente para ver se o mínimo ocorre em algum ponto da borda.
Passo 3
Vamos começar buscando os pontos críticos dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $:
Igualando essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são $ (1,1) $, $ (1,-1) $, $ (-1,1) $ e $ (-1,-1) $. Mas, olhando para a região do triângulo, que está no primeiro quadrante e limitado até $ x = 3 $ e $ y = 3 $, apenas o ponto $ (1,1) $ está dentro da região.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função $ f $ nesse ponto crítico $ (1,1) $:
Então, temos um valor de $ f(1,1) = -1 $ dentro da região.
Passo 5
Em seguida, precisamos verificar se há valores menores nas bordas do triângulo. O triângulo tem três lados:
- Lado de $ (0,0) $ a $ (3,0) $: Aqui, $ y = 0 $.
- Lado de $ (3,0) $ a $ (0,3) $: A equação dessa reta é $ y = -x + 3 $.
- Lado de $ (0,3) $ a $ (0,0) $: Aqui, $ x = 0 $.
Vamos analisar cada um desses lados.
Passo 6
Primeiro lado: $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na função:
Para encontrar o mínimo dessa função em $ x $ entre 0 e 3, derivamos em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Calculando $ f(1,0) $:
Também verificamos nas extremidades:
- $ f(0,0) = 0 + 0 - 0 - 0 + 3 = 3 $
- $ f(3,0) = 27 + 0 - 9 - 0 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ 1 $.
Passo 7
Segundo lado: $ y = -x + 3 $.
Substituindo na função:
Vamos simplificar essa expressão:
Então,
Agora, derivamos em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Verificamos $ f\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) $:
Também verificamos nas extremidades:
- $ f(3,0) = 21 $ (já calculado)
- $ f(0,3) = 0 + 27 - 0 - 9 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ \frac{3}{4} $.
Passo 8
Terceiro lado: $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Para encontrar o mínimo dessa função em $ y $ entre 0 e 3, derivamos em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Calculando $ f(0,1) $:
Também verificamos nas extremidades:
- $ f(0,0) = 3 $ (já calculado)
- $ f(0,3) = 27 - 9 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ 1 $.
Passo 9
Agora, juntando todos os mínimos encontrados:
- Dentro da região: $ -1 $
- Primeiro lado: $ 1 $
- Segundo lado: $ \frac{3}{4} $
- Terceiro lado: $ 1 $
O menor valor entre esses é $ -1 $.
Resposta
O valor mínimo da função na região delimitada pelo triângulo é $ -1 $, alcançado no ponto $ (1,1) $.