Determinar o valor mínimo de f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y+3 na região delimitada pelo triângulo de vértices (0,3),(3,0),(0,0).
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3x - 3y + 3 $ dentro de uma região específica, que é um triângulo com vértices nos pontos $ (0,3) $, $ (3,0) $ e $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde procurar esse mínimo. Ele pode estar em dois lugares:
  1. Dentro da região do triângulo: Para isso, a gente procura pontos críticos onde as derivadas parciais da função são zero.
  2. Nas bordas do triângulo: Aqui, vamos analisar cada lado separadamente para ver se o mínimo ocorre em algum ponto da borda.

Passo 3

Vamos começar buscando os pontos críticos dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $:
f(x, y)
x
Igualando essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y
partial fpartial x = 3x^2 - 3
Então, os pontos críticos são $ (1,1) $, $ (1,-1) $, $ (-1,1) $ e $ (-1,-1) $. Mas, olhando para a região do triângulo, que está no primeiro quadrante e limitado até $ x = 3 $ e $ y = 3 $, apenas o ponto $ (1,1) $ está dentro da região.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função $ f $ nesse ponto crítico $ (1,1) $:
f
Então, temos um valor de $ f(1,1) = -1 $ dentro da região.

Passo 5

Em seguida, precisamos verificar se há valores menores nas bordas do triângulo. O triângulo tem três lados:
  1. Lado de $ (0,0) $ a $ (3,0) $: Aqui, $ y = 0 $.
  2. Lado de $ (3,0) $ a $ (0,3) $: A equação dessa reta é $ y = -x + 3 $.
  3. Lado de $ (0,3) $ a $ (0,0) $: Aqui, $ x = 0 $.
Vamos analisar cada um desses lados.

Passo 6

Primeiro lado: $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na função:
y = 0
Para encontrar o mínimo dessa função em $ x $ entre 0 e 3, derivamos em relação a $ x $:
y = 0
Igualando a zero:
f(x,0) = x^3 + 0^3 - 3x - 3(0) + 3 = x^3 - 3x + 3
Calculando $ f(1,0) $:
x
Também verificamos nas extremidades:
  • $ f(0,0) = 0 + 0 - 0 - 0 + 3 = 3 $
  • $ f(3,0) = 27 + 0 - 9 - 0 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ 1 $.

Passo 7

Segundo lado: $ y = -x + 3 $.
Substituindo na função:
y = -x + 3
Vamos simplificar essa expressão:
f(x, -x + 3) = x^3 + (-x + 3)^3 - 3x - 3(-x + 3) + 3
Então,
(-x + 3)^3 = -x^3 + 9x^2 - 27x + 27
f(x, -x + 3) = x^3 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 - 3x + 3x - 9 + 3
Agora, derivamos em relação a $ x $:
f(x, -x + 3) = 9x^2 - 27x + 21
Igualando a zero:
x
Verificamos $ f\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) $:
dfdx = 18x - 27
Também verificamos nas extremidades:
  • $ f(3,0) = 21 $ (já calculado)
  • $ f(0,3) = 0 + 27 - 0 - 9 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ \frac{3}{4} $.

Passo 8

Terceiro lado: $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
x = 0
Para encontrar o mínimo dessa função em $ y $ entre 0 e 3, derivamos em relação a $ y $:
x = 0
Igualando a zero:
f(0,y) = 0^3 + y^3 - 3(0) - 3y + 3 = y^3 - 3y + 3
Calculando $ f(0,1) $:
y
Também verificamos nas extremidades:
  • $ f(0,0) = 3 $ (já calculado)
  • $ f(0,3) = 27 - 9 + 3 = 21 $
O menor valor nesse lado é $ 1 $.

Passo 9

Agora, juntando todos os mínimos encontrados:
  • Dentro da região: $ -1 $
  • Primeiro lado: $ 1 $
  • Segundo lado: $ \frac{3}{4} $
  • Terceiro lado: $ 1 $
O menor valor entre esses é $ -1 $.

Resposta

O valor mínimo da função na região delimitada pelo triângulo é $ -1 $, alcançado no ponto $ (1,1) $.

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