Determine e classifique os pontos críticos da função:
f(x, y)=x^3+y^3+3 x y+3
O a. Ponto de Sela em (0,0) e Mínimo local em (1,1)
O b. Ponto de Sela em (0,0) e Máximo local em (-1,-1)
Oc. Ponto de Sela em ( 0,0 ) e Mínimo local em ( -1-1 )
O d. Ponto de Sela em (0,0) e Máximo em (1,1)
O e. Mínimo local em (0,0) e ponto de sela em (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} + 3xy + 3 $. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e identificar se são pontos de sela, mínimos locais ou máximos locais. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculamos as derivadas parciais:
x
y
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero:
partial fpartial x = 3x^2 + 3y
partial fpartial y = 3y^2 + 3x
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
3x^2 + 3y = 0 (1)
3y^2 + 3x = 0 (2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1’), podemos isolar $ y $:
y
Agora, substituímos isso na equação (2’):
y = -x^2
(-x^2)^2 + x = 0 Rightarrow x^4 + x = 0
Então, temos duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $
Vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes:
  • Para $ x = 0 $:
    x(x^3 + 1) = 0
    Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.
  • Para $ x = -1 $:
    x = 0
    Então, o ponto crítico é $ (-1, -1) $.

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (-1, -1) $, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante.
Calculamos as segundas derivadas:
(0, 0)
(-1, -1)
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
O discriminante $ D $ é dado por:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
Vamos avaliar em cada ponto crítico.
  1. No ponto $ (0, 0) $:
    fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3
    D
    D = fxxfyy - (fxy)^2
    Como $ D < 0 $, esse é um ponto de sela.
  2. No ponto $ (-1, -1) $:
    (0, 0)
    fxx = 6(0) = 0
    fyy = 6(0) = 0
    Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, esse é um máximo local.

Resposta

A alternativa correta é a b. Ponto de Sela em (0,0) e Máximo local em (-1,-1).

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