Determine e classifique os pontos críticos da função:
O a. Ponto de Sela em
e Mínimo local em
O b. Ponto de Sela em
e Máximo local em
Oc. Ponto de Sela em ( 0,0 ) e Mínimo local em (
)
O d. Ponto de Sela em
e Máximo em
O e. Mínimo local em
e ponto de sela em
O b. Ponto de Sela em
Oc. Ponto de Sela em ( 0,0 ) e Mínimo local em (
O d. Ponto de Sela em
O e. Mínimo local em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} + 3xy + 3 $. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e identificar se são pontos de sela, mínimos locais ou máximos locais. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculamos as derivadas parciais:
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1’), podemos isolar $ y $:
Agora, substituímos isso na equação (2’):
Então, temos duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $
Vamos encontrar os valores de $ y $ correspondentes:
-
Para $ x = 0 $:Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.
-
Para $ x = -1 $:Então, o ponto crítico é $ (-1, -1) $.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (-1, -1) $, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos avaliar em cada ponto crítico.
-
No ponto $ (0, 0) $:Como $ D < 0 $, esse é um ponto de sela.
-
No ponto $ (-1, -1) $:Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, esse é um máximo local.
Resposta
A alternativa correta é a b. Ponto de Sela em
e Máximo local em
.