Calcule o fluxo de
através de
, isto é,
, em que:
é a parte do paraboloide
acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
dada pelo paraboloide
acima do plano
. O conteúdo envolve integral de superfície de um campo vetorial, usando projeção no plano
e parametrização.
Passo 2
Vamos parametrizar
como gráfico de
sobre o disco
. A parametrização é
, com
. Para fluxos orientados para cima (normal com componente
), usamos
. Calculamos as derivadas parciais:
Calculando e
, obtemos
Calculando
Passo 3
O fluxo é
Substituindo
, o produto escalar é
Passo 4
Agora mudamos para coordenadas polares no disco
:
, com
,
. Assim o fluxo vira
Fazendo a integral em
:
Então o fluxo é