Calcule o fluxo de F através de S, isto é, integralegral duplaS F cdot n d S, em que:
F(x, y, z)=(x, y, z) ; S é a parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 acima do plano x O y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S dada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 acima do plano xOy. O conteúdo envolve integral de superfície de um campo vetorial, usando projeção no plano xy e parametrização.

Passo 2

Vamos parametrizar S como gráfico de z=f(x,y)=1-x^2-y^2 sobre o disco D:;x^2+y^2<=1. A parametrização é vec r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2), com (x,y)in D. Para fluxos orientados para cima (normal com componente z>0), usamos vec n,dS = (-fx,-fy,1),dA. Calculamos as derivadas parciais:
Calculando fx=-2x e fy=-2y, obtemos
vec n,dS = (2x,2y,1),dA

Passo 3

O fluxo é
integral duplaS vec Fcdotvec n,dS = integral duplaD vec F(vec r(x,y))cdot(2x,2y,1),dA
Substituindo vec F(vec r(x,y))=(x,y,1-x^2-y^2), o produto escalar é
(x,y,1-x^2-y^2)cdot(2x,2y,1) = 2x^2 + 2y^2 + 1 - x^2 - y^2 = x^2+y^2+1

Passo 4

Agora mudamos para coordenadas polares no disco D: x=rcostheta,;y=rsintheta,;dA=r,dr,dtheta, com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Assim o fluxo vira
integral0^2piintegral0^1(r^2+1),r,dr,dtheta
Fazendo a integral em r:
integral0^1(r^3+r),dr = l[tfracr^44+tfracr^22r]0^1 = tfrac14+tfrac12=tfrac34
Então o fluxo é integral0^2pitfrac34,dtheta = 2picdottfrac34=tfrac3pi2

Resposta

3pi2

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