Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de F através de S, em que:
F(x, y, z)=(2 x, 3 y, z^2) ; S é o cubo unitário [0,1]^3.

Passo 1

O problema pede o fluxo de vec F=(2x,3y,z^2) através da superfície S, que é o cubo unitário [0,1]^3. O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de área em uma integral de volume do divergente de vec F. Para resolver, vamos precisar calcular nablacdotvec F e depois integrar esse divergente sobre o cubo.

Passo 2

Primeiro vamos achar o divergente de vec F. Por definição:
nablacdotvec F=partialpartial x(2x)+partialpartial y(3y)+partialpartial z(z^2)

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
partialpartial x(2x)=2,partialpartial y(3y)=3,partialpartial z(z^2)=2z

Passo 4

Logo,
nablacdotvec F = 2 + 3 + 2z = 5 + 2z

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de vec F através de S é
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaV(nablacdotvec F),dV,
onde V=[0,1]^3. Então montamos a integral tripla:
integral triplaV(5+2z),dV = integral0^1integral0^1integral0^1(5+2z),dx,dy,dz

Passo 6

Como o integrando não depende de x nem de y, as integrais em x e y só dão fator 1:
integral0^1integral0^1integral0^1(5+2z),dx,dy,dz = integral0^1(5+2z),dz

Passo 7

Agora basta integrar em z:
integral0^1(5+2z),dz = l[5z + z^2r]0^1 = 5cdot1 + 1^2 - 0 = 6

Resposta

6

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